Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là

A. \(5\).

B. \(3\).

C. \(7\).

D. \(11\).

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Tự luận truyền thống

Do \(y = f\left( x \right)\)là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định tại \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Theo đồ thị hàm số ta có được \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_1} \in \left( { – 2; – 1} \right)}\\{x = {x_2} \in \left( { – 1;0} \right)}\\{x = {x_3} \in \left( {0;0,75} \right)}\end{array}} \right.\).

Mặt khác \(g’\left( x \right) = \left( {6{x^2} + 6x} \right)f’\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right)\) nên \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6{x^2} + 6x = 0}\\{f’\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  – 1}\\{2{x^3} + 3{x^2} = {x_1}}\\{2{x^3} + 3{x^2} = {x_2}}\\{2{x^3} + 3{x^2} = {x_3}}\end{array}} \right.\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(h’\left( x \right) = 6{x^2} + 6x\), \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  – 1}\end{array}} \right.\), từ đó ta có BBT của \(y = h\left( x \right)\) như sau

Từ BBT của hàm số \(h\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2}\) nên ta có \(h\left( x \right) = {x_1}\) có đúng một nghiệm, \(h\left( x \right) = {x_2}\) có đúng \(1\) nghiệm, \(h\left( x \right) = {x_3}\) có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác \(0\)và \( – 1\). Vì thế phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số \(y = g\left( x \right)\)có \(7\) cực trị.

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Gọi \(a,\,\,b,\,\,c\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), trong đó \( – 2 < a < \,\,b < 0 < \,\,c < 0,75\).

Đặt \(t = 2{x^3} + 3{x^2}\);\(t’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  – 1\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right) = f(t)\) 

Ta có BBT 

Do phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) có \(7\) cực trị.

=======