Đề bài: Cho: $\begin{cases}a+b+c+d=7 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=13 \end{cases}$ Chứng minh rằng: $1\leq a,b,c,d\leq \frac{5}{2}$

Lời giải

Đề bài:
Cho: $\begin{cases}a+b+c+d=7 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=13 \end{cases}$ Chứng minh rằng: $1\leq a,b,c,d\leq \frac{5}{2}$
Lời giải

Ta có: $a+b+c+d=7$
suy ra: $\left ( 7-a \right )^{2}=\left ( b+c+d \right )^{2}\leq 3\left (b^{2}+c^{2}+d^{2}\right )$
                ( theo bất đẳng thức Bunhiacopski)
$\Rightarrow \left ( 7-a \right )^{2}\leq 3\left ( 13-a^{2} \right )\Rightarrow 49-14a+a^{2}\leq 39-3a^{2}$
$\Rightarrow 4a^{2}-14a+10\leq 0 \Rightarrow 1\leq a\leq \frac{5}{2}$
Do vai trò bình đẳng của $a,b,c,d \Rightarrow $ ta cũng có: $1\leq b,c,d\leq \frac{5}{2}$
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki