Đề bài: Cho $a,b,c \in [\frac{1}{2},2]$.Chứng minh rằng:$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{225}{16}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c \in [\frac{1}{2},2]$.Chứng minh rằng:$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{225}{16}$
Lời giải

Ta có: $a\in [\frac{1}{2},2]\Rightarrow \left ( a- \frac{1}{2}\right )\left ( a-2 \right )\leq 0$
$\Rightarrow a^{2}-\frac{5}{2}a+1\leq 0$
$\Rightarrow a+\frac{1}{a}\leq \frac{5}{2}$
Tương tự ta có:
$ b+\frac{1}{b}\leq \frac{5}{2}$
$ c+\frac{1}{c}\leq \frac{5}{2}$
Do đó theo BĐT Cauchy:
$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{1}{4}\left ( a+b+c +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )^{2}\leq \frac{1}{4}\left ( 3. \frac{5}{2} \right )^{2}\leq \frac{225}{16}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi