Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Hãy chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c>0$.Hãy chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}$
Lời giải

Ta có:
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
$=(a+b)[ab+(a-b)^{2}] \geq (a+b)ab (1)$
Tương tự ta có:
    $b^{3}+c^{3} \geq (b+c)bc                         (2)$
    $c^{3}+a^{3} \geq (c+a)ca                         (3)$
Cộng $(1),(2),(3)$ vế với vế,ta được:
$2(a^{3}+b^{3}+c^{3} )\geq  (a+b)ab + (b+c)bc +(c+a)ca$
$=a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$
$\geq a^{2}2\sqrt{bc}+b^{2}2\sqrt{ca}+c^{2}2\sqrt{ab}$  (BĐT Cauchy)
Vậy: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi