Lời giải
Đề bài:
Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3…,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n b_{i},C=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}$Chứng minh rằng:$ Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},…,a_{n}b_{n}c_{n})\leq \frac{ABC}{n^{3}}$
Lời giải
Đặt: $m=Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},…,a_{n}b_{n}c_{n})$
$\Rightarrow m^n\leq a_{1}b_{1}c_{1}.a_{2}b_{2}c_{2}….a_{n}b_{n}c_{n}$vì
$ a_i, b_i, c_i > 0 (\forall i=1, 2, …, n)$
Theo BĐT Cauchy:
$A\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n}}$
$B\geq n\sqrt[n]{b_{1}b_{2}…b_{n}}$
$C\geq n\sqrt[n]{c_{1}c_{2}…c_{n}}$
$\Rightarrow ABC\geq n^{3}\sqrt[n]{(a_{1}b_{1}c_{1}).(a_{2}b_{2}c_{2})….(a_{n}b_{n}c_{n})})\geq n^{3}\sqrt[n]{m^{n}}=n^{3}.m$
$m\leq \frac{ABC}{n^{3}}$ (ĐPCM)
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời