Đề bài: Cho $\Delta ABC$ có cạnh $a,b,c$. Chứng minh rằng:   $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{a+c-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$

Lời giải

Đề bài:
Cho $\Delta ABC$ có cạnh $a,b,c$. Chứng minh rằng:   $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{a+c-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$
Lời giải

Đặt $x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c,    x,y,z>0$.
Suy ra:
     $
\displaystyle a=\frac{y+z}{2},b=\frac{z+x}{2},c=\frac{x+y}{2}$.
Khi đó, $VT$ của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
     $
\displaystyle VT=\frac{(y+z)^2}{4x}+\frac{(z+x)^2}{4y}+\frac{(x+y)^2}{4z}\geq \frac{4yz}{4x}+\frac{4zx}{4y}+\frac{4xy}{4z}$
               $
\displaystyle =\frac{1}{2}(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})+\frac{1}{2}(\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z})+\frac{1}{2}(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x})\geq x+y+z =a+b+c$, đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi: $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi