Đề bài: Cho $a, b, c$ là $3$ số dương. Chứng minh:a)     $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6                               (1)$b)     $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}                             (2)$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a, b, c$ là $3$ số dương. Chứng minh:a)     $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6                               (1)$b)     $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}                             (2)$
Lời giải

a) Ta có VT $=\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right )+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )\geq 2\sqrt{\frac{a.c}{c.a}}+2\sqrt{\frac{b.c}{c.b}}+2\sqrt{\frac{a.b}{b.a}}=6$.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.

b) $(2)\Leftrightarrow (\frac{a}{b+c}+1)+(\frac{b}{a+c}+1)+(\frac{c}{a+b}+1)\geq 3+\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(b+c)+(c+a)+(a+b)][\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}]\geq \frac{9}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi