494. Trong hệ trục\(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 49\) và\(\left( {{S_2}} \right):{\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 9} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 400\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x – 3y + mz + 22 = 0\). Có bao nhiêu số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\;\left( {{S_2}} \right)\) theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến chung?

Câu hỏi: 494. Trong hệ trục\(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 49\) và\(\left( {{S_2}} \right):{\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 9} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 400\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x – 3y + mz + 22 = 0\). Có bao nhiêu số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\;\left( {{S_2}} \right)\) theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến chung? A. \(5\).

B. \(11\).

C. Vô số.

D. \(6\).

Lời giải

Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 3;2} \right)\), bán kính \({R_1} = 7\); mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {10;9;2} \right)\), bán kính \({R_2} = 20\). Ta có \(\overrightarrow {IJ} \left( {9;12;0} \right)\), \(IJ = 15\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):4x – 3y + mz + 22 = 0\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {4; – 3;m} \right)\)

Do \(\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\) nên \(IJ\) song song hoặc chứa trong (P).

Bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) là \(r = \frac{{2\sqrt {p\left( {p – 7} \right)\left( {p – 20} \right)\left( {p – 15} \right)} }}{{15}} = \frac{{28}}{5}\) với \(p = \frac{{20 + 7 + 15}}{2} = 21\)

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu là (Q): \(3x + 4y + 30 = 0\)

Ta có \(d\left( {I;(Q)} \right) = \frac{{21}}{5}\), \(d\left( {J;(Q)} \right) = \frac{{96}}{5}\) nên \(d\left( {I;(Q)} \right) + IJ = d\left( {J;(Q)} \right)\)

Ta có mp(P) cắt hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) theo giao tuyến là hai đường tròn, trong đó đường tròn nhỏ ở trong đường tròn lớn khi \(\frac{{28}}{5} < d\left( {I;(P)} \right) < 7 \Leftrightarrow \frac{{28}}{5} < \frac{{\left| {2m + 35} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 25} }} < 7\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}45{m^2} – 140m > 0\\\frac{{684}}{{25}}{m^2} – 140m – 441 < 0\end{array} \right.\)

Và có m nguyên, nên \(m \in \left\{ { – 2; – 1;4;5;6;7} \right\}\).

=======