Đề bài: Xác định $a$ để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: $\begin{cases}ax^2+a-1=y-|\sin x| \\ \tan ^2x+y^2=1 \end{cases} $

Lời giải

Giả sử $({x_o},{y_o})$ là nghiệm của hệ, ta có  $( – {x_o},{y_o})$ cũng là nghiệm của hệ, do đó điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là ${x_o} = 0$.
Thế ${x_o} = 0$ vào hệ ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
a – 1 = {y_o}\\
y_o^2 = 1
\end{array} \right.{\rm{     }}\Rightarrow a = 0,a = 2$.

a) Với $a = 0$ hệ đã cho trở thành
$\left\{ \begin{array}{l}
y – \left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| =  – 1\\
t{g^2}x + {y^2} = 1
\end{array} \right.$
Dễ nhận thấy rằng hệ này có vô số nghiệm : $x = k\pi {\rm{   (k}} \in {\rm{Z)}}$, $y = – 1$

b) Với $a = 2$ hệ đã cho trở thành
$\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 1 = y – \left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|{\rm{         (1)}}\\
t{g^2}x + {y^2} = 1{\rm{                    (2)}}
\end{array} \right.$

Từ $(1)$ ta có $y = {\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 1 + \left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|{\rm{ }}$, thế vào $(2)$ ta được
${\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x + {\left( {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 1 + \left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow x = 0$
Thế $x = 0$ vào $(1)$ ta có $y = 1$. Trong trường hợp này hệ có nghiệm duy nhất $\left( {0,1} \right)$.

Đáp số : $a = 2$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số