Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi giá trị của \(y\) có nghiệm nguyên dương \(x\) và có không quá 100 số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{{\log }_3}x + 2021} \right)\left( {{{\log }_3}x – y} \right) < 0\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi giá trị của \(y\) có nghiệm nguyên dương \(x\) và có không quá 100 số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{{\log }_3}x + 2021} \right)\left( {{{\log }_3}x – y} \right) < 0\)?

A. 1. 

B. 2. 

C. 3. 

D. 4.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét bất phương trình \(\left( {{{\log }_3}x + 2021} \right)\left( {{{\log }_3}x – y} \right) < 0\) 

Do \(x \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x \ge 1\). Khi đó: \({\log _3}x \ge 0 \Leftrightarrow {\log _3}x + 2021 > 0,\forall x \ge 1\).

Bất phương trìnhtương đương \({\log _3}x – y < 0 \Leftrightarrow x < {3^y}\).

Kết hợp điều kiện ta có: \(1 \le x < {3^y}\).

Để ứng với mỗi giá trị của \(y\) có nghiệm nguyên dương \(x\) vàcó không quá 100 số nguyên \(x\) ta có: \(1 < {3^y} \le 101\)\( \Leftrightarrow 0 < y \le {\log _3}101\).

Với \(y \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị của \(y\) thỏa yêu cầu bài toán.