Có bao nhiêu số nguyên dương\(y\)sao cho ứng với mỗi giá trị của y có nghiệm nguyên dương \(x\) và có không quá \(10\) số nguyên \(x\)thỏa mãn : \(\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) > 0\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương\(y\)sao cho ứng với mỗi giá trị của y có nghiệm nguyên dương \(x\) và có không quá \(10\) số nguyên \(x\)thỏa mãn : \(\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) > 0\)?

A. \(1\). 

B. \(3\).  

C. \(2\).  

D. \(4.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét bất phương trình \(\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) > 0\).

Do \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \({\log _{\frac{1}{2}}}x \le 0 \Rightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x – 1 < 0\).

Khi đó\(\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) > 0 \Leftrightarrow {\log _2}x – y < 0\)\( \Leftrightarrow x < {2^y}\).

Do \(x \ge 1 \Rightarrow 1 \le x < {2^y}\).

Theo giả thiết, ứng với mỗi giá trị nguyên dương của y có nghiệm nguyên dương \(x\) và có không quá \(10\) số nguyên \(x\)nên: \(1 < {2^y} \le 11 \Leftrightarrow 0 < y \le {\log _2}11 \approx 3.46\).

Vì y nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1,\,2,\,3} \right\}\) nên có 3 giá trị của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.