20. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(y = f’\left( x \right)\)là hàm số bậc ba và có đồ thị là đường cong dưới đây. 

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
20. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(y = f’\left( x \right)\)là hàm số bậc ba và có đồ thị là đường cong dưới đây. 

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^4}} \right) – 2{x^2}} \right|\) là 

A. \(3\).\(\)

B. \(4\).

C. \(5\).\(\)

D. \(6\)

Lời giải

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^4}} \right) – 2{x^2}\,\,;\,\,\,h’\left( x \right) = 4{x^3}f’\left( {{x^4}} \right) – 4x = 4x\left[ {{x^2}f’\left( {{x^4}} \right) – 1} \right]\)

Ta có \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2}f’\left( {{x^4}} \right) – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f’\left( {{x^4}} \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\,\,\,\left( {x \ne 0} \right)\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(t = {x^4}\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {x^2} = \sqrt t \)

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt t }}\,\,\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(u\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt t }}\,,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow \,u’\left( t \right) =  – \frac{1}{{2\sqrt {{t^3}} }}\)

Khi đó ta có đồ thị hai hàm số như sau

Suy ra phương trình\(\left( 2 \right)\)có một nghiệm \(t = a\, > 0 \Rightarrow \)phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm \(x =  \pm \sqrt[4]{a}\)

Bảng biến thiên 

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) có \(5\) điểm cực trị.