Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 4}}{2}\,;\,\) \({d_2}:\,\frac{{x + 8}}{2} = \frac{{y – 6}}{1} = \frac{{z – 10}}{{ – 1}}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}\,;\,{d_2}\) và có bán kính nhỏ nhất. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 4}}{2}\,;\,\) \({d_2}:\,\frac{{x + 8}}{2} = \frac{{y – 6}}{1} = \frac{{z – 10}}{{ – 1}}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}\,;\,{d_2}\) và có bán kính nhỏ nhất. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là

A. \({x^2} + {\left( {y – 10} \right)^2} + {\left( {z – 6} \right)^2} = 35\). 

B. \({\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 35\).

C. \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 10} \right)^2} + {\left( {z – 6} \right)^2} = 35\). 

D. \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 5} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 35\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi các véc tơ chỉ phương của \({d_1}\,;\,{d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1\,;\, – 1\,;\,2} \right)\,;\,\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2\,;\,1\,;\, – 1} \right)\).

Giả sử \(\left( S \right)\) là mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R\).

Gọi tiếp điểm của \({d_1}\,;\,{d_2}\) với mặt cầu lần lượt là \(M\,,\,N\). Khi đó \(2R = IM + IN \ge MN \ge HK\,\left( 1 \right)\)Trong đó \(HK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \({d_1}\,,\,{d_2}\) với \(\left( {H \in {d_1}\,;\,K \in {d_2}} \right)\).

Dấu  trong \(\left( 1 \right)\) xảy ra khi và chỉ khi\(\left( S \right)\) là mặt cầu đường kính \(HK\).

Gọi \(H\left( {t\,;\,2 – t\,;\,4 + 2t} \right)\,;\,K\left( { – 8 + 2s\,;\,6 + s\,;\,10 – s} \right)\), ta có \(\overrightarrow {HK}  = \left( { – 8 + 2s – t\,;\,4 + s + t\,;\,14 – s – 2t} \right)\).

Vì \(HK\) là đường vuông góc chung của hai đường \({d_1}\) và \({d_2}\) nên:\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HK}  \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {HK}  \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right.\,\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.\,\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 8 + 2s – t – 4 – s – t + 2\left( {14 – s – 2t} \right) = 0\\2\left( { – 8 + 2s – t} \right) + 4 + s + t – 14 + s + 2t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 – s – 6t = 0\\ – 26 + 6s + t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\s = 4\end{array} \right.\).

Từ đó: \(H\left( {2\,;\,0\,;\,0} \right)\,;\,K\left( {0\,;\,10\,;\,6} \right)\) \( \Rightarrow HK = \sqrt {{2^2} + {{10}^2} + {6^2}}  = \sqrt {140}  = 2\sqrt {35} \) \( \Rightarrow R = \sqrt {35} \)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 5} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 35\).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)