Trong hệ tọa độ \(Oxyz\),cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24\) và ba điểm \(A\left( {2; – 2;5} \right),\,\,B\left( {3;1; – 1} \right),\,\,C\left( {0;2; – 3} \right)\). \(M\left( {a;b;c} \right)\) là một điểm nằm trên mặt cầu sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  – 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \({a^2} – 2{b^2} + 3{c^2}\) bằng.

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\),cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24\) và ba điểm \(A\left( {2; – 2;5} \right),\,\,B\left( {3;1; – 1} \right),\,\,C\left( {0;2; – 3} \right)\). \(M\left( {a;b;c} \right)\) là một điểm nằm trên mặt cầu sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  – 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \({a^2} – 2{b^2} + 3{c^2}\) bằng.

A. \(11\). 

B. \(10\). 

C. \(4\). 

D. \(7\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu có tâm \(I\left( { – 1;\,\,3;\, – 2} \right)\)

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\)là điểm sao cho \(\overrightarrow {HA}  – 2\overrightarrow {HB}  + 3\overrightarrow {HC}  = \overrightarrow 0 \). Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2 – x – 2\left( {3 – x} \right) + 3\left( { – x} \right) = 0\\ – 2 – y – 2\left( {1 – y} \right) + 3\left( {2 – y} \right) = 0\\5 – z – 2\left( { – 1 – z} \right) + 3\left( { – 3 – z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – 2\\y = 1\\z =  – 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { – 2;\,1;\, – 1} \right)\)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA}  – 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HA}  – 2\left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HC} } \right)} \right| = \left| {2\overrightarrow {MH} } \right|\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MA}  – 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left| {\overrightarrow {MH} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất\( \Leftrightarrow \)\(M\) là một trong hai giao điểm của đường thẳng \(HI\) với mặt cầu \(\left( S \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {HI}  = \left( {1;\,2;\, – 1} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(HI\) là:\(\left\{ \begin{array}{l}x =  – 2 + t\\y = 1 + 2t\\z =  – 1 – t\end{array} \right.\)

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(HI\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là nghiệm hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  – 2 + t\\y = 1 + 2t\\z =  – 1 – t\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24\end{array} \right.\\ \Rightarrow {\left( {t – 1} \right)^2} + {\left( {2t – 2} \right)^2} + {\left( { – t + 1} \right)^2} = 24 \Leftrightarrow {\left( {t – 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  – 1\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 3\) ta có \(M\left( {1;7; – 4} \right)\)

Với \(t =  – 1\) ta có \(M\left( { – 3; – 1;0} \right)\)

Khi \(M\left( {1;7; – 4} \right)\)thì \(\left| {\overrightarrow {MH} } \right| = 3\sqrt 6 \)

Khi \(M\left( { – 3; – 1;0} \right)\) thì \(\left| {\overrightarrow {MH} } \right| = \sqrt 6 \). Do đó \(M\left( { – 3; – 1;0} \right)\) là điểm cần tìm nên \({a^2} – 2{b^2} + 3{c^2} = 7\).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)