Trong không gian \(Oxyz,\)cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – z – 6 = 0.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua đường thẳng \(d\) và tạo với \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. Khi đó dạng phương trình tổng quát của\(\left( \alpha \right)\) là \(ax + by + z + d = 0.\) Khi đó giá trị của \(a + b + d\) bằng:

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(Oxyz,\)cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – z – 6 = 0.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua đường thẳng \(d\) và tạo với \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. Khi đó dạng phương trình tổng quát của\(\left( \alpha \right)\) là \(ax + by + z + d = 0.\) Khi đó giá trị của \(a + b + d\) bằng:
A.\(6.\)
B. \( – 7.\)
C. \(5.\)
D. \( – 3.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;1} \right).\)
Do đường thẳng \(\left( d \right)\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) suy ra \(a + 2b – 2 = 0\)\(\left( 1 \right)\)
Góc tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( P \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a + b – 1} \right|}}{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right)} }}\) đạt GTNN.
Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(a = 2 – 2b\) thế vào: \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1 – b} \right|}}{{\sqrt {3\left( {5{b^2} – 8b + 5} \right)} }}\).
\( \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} } \right)} \right| = \sqrt {\frac{{{{\left( {1 – b} \right)}^2}}}{{3\left( {5{b^2} – 8b + 5} \right)}}} = \sqrt {\frac{{1 – 2b + {b^2}}}{{15{b^2} – 24b + 15}}} \).
\( \Rightarrow \min \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{9} \Leftrightarrow b = – 1\).
Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x – y + z + d = 0.\) Vì \(M\left( {2;1; – 1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow d = – 6.\)
\( \Rightarrow a + b + d = – 3.\)
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)