Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 9\)và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 6}}{{ – 3}} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{2}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4;3;4} \right)\), song song với đường thẳng \(\Delta \) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\)là:

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 9\)và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 6}}{{ – 3}} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{2}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4;3;4} \right)\), song song với đường thẳng \(\Delta \) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\)là:
A.\(2x – y – 2z – 10 = 0\).
B. \(2x + y + 2z – 19 = 0\).
C. \(x – 2y + 2z – 1 = 0\).
D. \(2x + 2y + z – 18 = 0\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
Gọi một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right),\;{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4;3;4} \right)\) và có một VTPT \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) nên có phương trình là
\(a\left( {x – 4} \right) + b\left( {y – 3} \right) + c\left( {z – 4} \right) = 0\)
Do \(\left( P \right)//\Delta \) nên \( – 3a + 2b + 2c = 0 \Leftrightarrow 3a = 2\left( {b + c} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) nên
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 3a – b – c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {\left( {3a + b + c} \right)^2}\quad \left( * \right)\)
Thay \(3a = 2\left( {b + c} \right)\) vào \(\left( * \right)\) ta được:
\(4{\left( {b + c} \right)^2} + 9{b^2} + 9{c^2} = 9{\left( {b + c} \right)^2} \Leftrightarrow 2{b^2} – 5bc + 2{c^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}c\\b = 2c\end{array} \right.\).
• TH1: \(b = \frac{1}{2}c\), chọn \(c = 2 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow \) Phương trình \(2x + y + 2z – 19 = 0\) (thỏa).
• TH2: \(b = 2c\), chọn \(c = 1 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow \) Phương trình \(2x + 2y + z – 18 = 0\) (loại do \(\Delta \subset \left( P \right)\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)