Hàm số mũ
– Hàm số mũ là hàm số dạng \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\).
– Giới hạn liên quan \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} – 1}}{x} = 1\).
– Đạo hàm: \(y = {a^x} \Rightarrow y’ = {a^x}\ln a;y = {a^{u\left( x \right)}} \Rightarrow y’ = u’\left( x \right).{a^{u\left( x \right)}}\ln a,x \in R\)
(Đặc biệt $\left( {{e^x}} \right)’ = {e^x};{e^{u\left( x \right)}} = u’\left( x \right){e^{u\left( x \right)}}$ )
Khảo sát \(y = {a^x}\):
– TXĐ: \(D = R\)
– Chiều biến thiên :
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm đồng biến trên \(R\).
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm nghịch biến trên \(R\).
– Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\).
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;a} \right)\).
+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành vì \({a^x} > 0,\forall x \in R\).
+ Dáng đồ thị:
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.
– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.
Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.
+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn \(1\).
+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\).
– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.
– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.
Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…
Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.
\(\left( {u \pm v} \right)’ = u’ \pm v’;\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’;\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}\)
– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…
– Bước 3: Tính toán và kết luận.
Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} – 1}}{x} = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{a^x} – 1}}{x} = \ln a\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)^x} = e\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + 1} \right)^{\dfrac{1}{x}}} = e\).
Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính \(y’\), tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},…,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\) của phương trình \(y’ = 0\).
– Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right)\).
– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
+ GTNN \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.
+ GTLN \(M\) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.
Hàm số logarit
– Hàm số logarit cơ số \(a\) là hàm số có dạng \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\).
– Hàm số logarit có đạo hàm tại \(\forall x > 0\) và \(y’ = \left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \dfrac{1}{{x\ln a}}\)
(đặc biệt \(\left( {\ln x} \right)’ = \dfrac{1}{x}\) )
– Giới hạn liên quan \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\).
– Đạo hàm: \(y = {\log _a}x \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \dfrac{1}{{x\ln a}};y = {\log _a}u\left( x \right) \Rightarrow y’ = \dfrac{{u’\left( x \right)}}{{u\left( x \right)\ln a}}\)
(đặc biệt \(\left( {\ln x} \right)’ = \dfrac{1}{x}\) )
Khảo sát \(y = {\log _a}x\):
– TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
– Chiều biến thiên:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
– Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 0\).
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {a;1} \right)\).
+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung vì \(x > 0\).
+ Dáng đồ thị:
Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.
Hàm số \({\log _a}\left( {u\left( x \right)} \right)\) xác định \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\u\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)
– Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…(nếu có).
+ Căn bậc hai \(\sqrt {u\left( x \right)} \) xác định nếu \(u\left( x \right) \ge 0\).
+ Phân thức \(\dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\) xác định nếu \(g\left( x \right) \ne 0\).
– Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.
Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.
– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.
Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.
+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn \(1\).
+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\).
– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.
– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.
Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…
Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.
\(\left( {u \pm v} \right)’ = u’ \pm v’;\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’;\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}\)
– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…
– Bước 3: Tính toán và kết luận.
Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\log }_a}\left( {1 + x} \right)}}{x} = \dfrac{1}{{\ln a}}\)
Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính \(y’\), tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},…,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\) của phương trình \(y’ = 0\).
– Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right)\).
– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
+ GTNN \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.
+ GTLN \(M\) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x}\)
b) \(y = {2^{{x^2} – 3x}}\)
c) \(y = \frac{{{2^x} – 1}}{{{5^x}}}\)
d) \(y = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\)
Lời giải:
a) \(y = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y’ = \left( {2x – 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\)
b) \(y = {2^{{x^2} – 3x}} \Rightarrow y’ = (2x – 3){.2^{{x^2} – 3x}}.\ln 2\)
c) \(y = \frac{{{2^x} – 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} – {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y’ = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} – {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\)
d) \(y = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\)
\(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) – \left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}}\)
Ví dụ 2:
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)
b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)
c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\)
d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\)
Lời giải:
a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y’ = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)
b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y’ = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x – \ln x} \right) = \frac{{1 – \ln x}}{{{x^2}}}\)
c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y’ = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\)
d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)’}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\)
Ví dụ 3:
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = {\log _2}(25 – 4{x^2})\)
b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) – 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\)
c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 – \sqrt {1 – 4{x^2}} )\)
Lời giải:
a) Điều kiện: \(25 – 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow – \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { – \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\)
b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x + 1 \ne 1\\ 0 < 3x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge – \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { – \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 3x + 2 \ne 1\\ 1 – \sqrt {1 – 4{x^2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > – \frac{2}{3}\\ x \ne – \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { – \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { – \frac{1}{3};0} \right\}\).
Ví dụ 4:
Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m – 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Lời giải :
Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m – 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(\Delta = {3^2} – 4.2.(2m – 1) = 17 – 16m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{17}}{{16}}.\)
Vậy với \(m<\frac{17}{16}\) hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).
=====
XEM TRẮC NGHIỆM
Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
=======
Để lại phản hồi