1. Khái niệm lũy thừa
a) Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho \(n\) là một số nguyên dương.
- Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a……a}_n\)
- Với \(a\ne0\):
- \(a^0=1\)
- \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.
- Chú ý:
- \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.
- Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
c) Lũy thừa với số mũ thực
Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:
Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)
\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).
2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa
Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:
- \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)
- \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)
- \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)
- \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)
- \((a.b)^x=a^x.b^x\)
- \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)
3. So sánh hai lũy thừa
Cho số thực \(a\):
- Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).
- Nếu \(0<a<1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x<y\).
Dưới đây là một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể)
– Bước 2: Biến đổi các lũy thừa, căn bậc \(n\) sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ.
– Bước 3: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:
+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.
+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}$
Ta có: $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.$
Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)
– Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, căn bậc \(n\).
– Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa:
1/ Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\)
2/ Với \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\)
3/ Với \(0 < a < b\) thì:
a) \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\)
b) \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\)
4/ Với \(a > 0,b > 0\) thì \({a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b\).
Ở đó \(m,n\) là các số hữu tỉ.
5/ Với \(a < b,n\) là số tự nhiên lẻ thì \({a^n} < {b^n}\)
Ví dụ 2: Cho \(a > 1\), so sánh \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}}\) với \(\sqrt[5]{{{a^2}}}\)
Ta có: \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}} = {a^{\frac{7}{{15}}}};\sqrt[5]{{{a^2}}} = {a^{\frac{2}{5}}}\)
Vì \(\dfrac{7}{{15}} > \dfrac{2}{5}\) và \(a > 1\) nên \({a^{\frac{7}{{15}}}} > {a^{\frac{2}{5}}}\) hay \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}} > \sqrt[5]{{{a^2}}}\)
5. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}} – \frac{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\)
Lời giải:
\(A = \frac{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}} – \frac{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} – {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} – \frac{{{b^n} – {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\)
\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} – {{\left( {{b^n} – {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} – {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} – {a^{2n}}}}\)
Ví dụ 2:
Cho a,b là các số thực dương .Rút gọn biểu thức sau:
a) \(\left( {1 – 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}}\)
Lời giải:
a) \(\left( {1 – 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {1 – \sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2}:\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\)
\(= \frac{{{{\left( {\sqrt b – \sqrt a } \right)}^2}}}{b}.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{1}{b}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – a} \right)}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {1 – {b^2}} \right)}}{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {{b^2} – 1} \right)}} = 1 + a + 1 = a + 2\)
Ví dụ 3:
Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}}\)
b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\quad \left( {a > 0} \right)\)
Lời giải:
a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}} = \left\{ {{{\left[ {{{\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]}^{\frac{1}{5}}}} \right\}\)
\(= {\left[ {{{\left( {{2^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)^{\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{2}\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\)
b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {\left\{ {{{\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}a} \right]}^{\frac{1}{2}}}.a} \right\}^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\)
\(= {\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{4} + 1}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}.a} \right]^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{8} + 1}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{{{a^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{{a^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\)
Ví dụ 4:
Cho a là số thực dương, đơn giản các biểu thức sau:
a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}\)
b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)
Lời giải:
a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {{a^{ – 1}}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{a^{1 – \sqrt 2 }} = a\)
b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)
\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}\)
Ví dụ 5:
Không dùng máy tính bỏ túi, hãy so sánh các cặp số sau:
a) \(\sqrt[4]{{13}}\; \vee \;\sqrt[5]{{23}}\)
b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\; \vee \;{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[4]{{13}} = \sqrt[{20}]{{{{13}^5}}} = \sqrt[{20}]{{371.293}}\\ \sqrt[5]{{23}} = \sqrt[{20}]{{{{23}^4}}} = \sqrt[{20}]{{279.841}} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt[4]{{13}} > \sqrt[5]{{23}}\)
b) Ta có: \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
=====
XEM TRẮC NGHIỆM
https://booktoan.com/trac-nghiem-ham-so-luy-thua-va-ham-so-mu
=======
Trả lời