• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Học toán bài 1 Lũy thừa

Đăng ngày: 07/10/2019 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Học toán giải tích 12 chương 2, Luy thua

Mục lục:

  1. 1. Khái niệm lũy thừa
    1. a) Lũy thừa với số mũ nguyên
    2. b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
    3. c) Lũy thừa với số mũ thực
  2. 2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa
  3. 3. So sánh hai lũy thừa
    1. Dưới đây là một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
  4. Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức.
  5. Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.
  6. 5. Bài tập minh họa
    1. Ví dụ 1:
    2. Lời giải:
    3. Ví dụ 2:
    4. Lời giải:
    5. Ví dụ 3:
    6. Lời giải:
    7. Ví dụ 4:
    8. Lời giải:
    9. Ví dụ 5:
    10. Lời giải:
adsense

1. Khái niệm lũy thừa

a) Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho \(n\) là một số nguyên dương.

  • Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a……a}_n\)
  • Với \(a\ne0\):
    • ​\(a^0=1\)
    • ​\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.

  • Chú ý: 
    • \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.
    • Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

c) Lũy thừa với số mũ thực

Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).

2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa

Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:

  • \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)
  • \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)
  • \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)
  • \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)
  • \((a.b)^x=a^x.b^x\)
  • \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)

3. So sánh hai lũy thừa

Cho số thực \(a\):

  • Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).
  • Nếu \(0<a<1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x<y\).

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể)

– Bước 2: Biến đổi các lũy thừa, căn bậc \(n\) sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ.

– Bước 3: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}$

Ta có: $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.$

Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)

– Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, căn bậc \(n\).

– Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa:

1/ Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\)

2/ Với \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\)

3/ Với \(0 < a < b\) thì:

a) \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\)

b) \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\)

4/ Với \(a > 0,b > 0\) thì \({a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b\).

Ở đó \(m,n\) là các số hữu tỉ.

5/ Với \(a < b,n\) là số tự nhiên lẻ thì \({a^n} < {b^n}\)

Ví dụ 2: Cho \(a > 1\), so sánh \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}}\) với \(\sqrt[5]{{{a^2}}}\)

Ta có: \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}} = {a^{\frac{7}{{15}}}};\sqrt[5]{{{a^2}}} = {a^{\frac{2}{5}}}\)

Vì \(\dfrac{7}{{15}} > \dfrac{2}{5}\) và \(a > 1\) nên \({a^{\frac{7}{{15}}}} > {a^{\frac{2}{5}}}\) hay \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}} > \sqrt[5]{{{a^2}}}\)

adsense

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}} – \frac{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\)

Lời giải:

\(A = \frac{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}} – \frac{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} – {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} – \frac{{{b^n} – {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\)

\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} – {{\left( {{b^n} – {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} – {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} – {a^{2n}}}}\)

Ví dụ 2:

Cho a,b là các số thực dương .Rút gọn biểu thức sau:

a) \(\left( {1 – 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}}\)

Lời giải:

a) \(\left( {1 – 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {1 – \sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2}:\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\)

\(= \frac{{{{\left( {\sqrt b – \sqrt a } \right)}^2}}}{b}.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{1}{b}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – a} \right)}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {1 – {b^2}} \right)}}{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {{b^2} – 1} \right)}} = 1 + a + 1 = a + 2\)

Ví dụ 3:

Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:

a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}}\)

b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\quad \left( {a > 0} \right)\)

Lời giải:

a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}} = \left\{ {{{\left[ {{{\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]}^{\frac{1}{5}}}} \right\}\)

\(= {\left[ {{{\left( {{2^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)^{\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{2}\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\)

b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {\left\{ {{{\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}a} \right]}^{\frac{1}{2}}}.a} \right\}^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\)

\(= {\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{4} + 1}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}.a} \right]^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{8} + 1}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{{{a^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{{a^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\)

Ví dụ 4:

Cho a là số thực dương, đơn giản các biểu thức sau:

a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}\)

b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

Lời giải:

a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {{a^{ – 1}}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{a^{1 – \sqrt 2 }} = a\)

b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}\)

Ví dụ 5:

Không dùng máy tính bỏ túi, hãy so sánh các cặp số sau:

a) \(\sqrt[4]{{13}}\; \vee \;\sqrt[5]{{23}}\)

b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\; \vee \;{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[4]{{13}} = \sqrt[{20}]{{{{13}^5}}} = \sqrt[{20}]{{371.293}}\\ \sqrt[5]{{23}} = \sqrt[{20}]{{{{23}^4}}} = \sqrt[{20}]{{279.841}} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt[4]{{13}} > \sqrt[5]{{23}}\)

b) Ta có: \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)

 

 

 

=====

XEM TRẮC NGHIỆM

https://booktoan.com/trac-nghiem-ham-so-luy-thua-va-ham-so-mu

=======

Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Học toán giải tích 12 chương 2, Luy thua

Bài liên quan:

  1. Đề Kiểm Tra 1 tiết môn toán – chương 2 giải tích 12
  2. Học toán ôn tập chương 2 giải tích 12
  3. Học toán Bài 6 Bất phương trình Logarit
  4. Học toán Bài 6 Bất phương trình mũ
  5. Học toán Bài 5 phương trình lôgarit
  6. Học toán Bài 5 Phương trình mũ
  7. Học toán Bài 4 Hàm số mũ Hàm số lôgarit
  8. Học toán Bài 3 Lôgarit
  9. Học toán Bài 2: Hàm số lũy thừa
  10. Giải bài tập Bài 1 Lũy thừa – SGK Giải tích 12 cơ bản
  11. Giải SBT Giải tich 12 – Bai 1 Lũy thừa

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.