Bất phương trình lôgarit
Kiến thức cần nhớ
– Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {\log _a}x\)
+ Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến.
+ Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến.
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
Với \(0\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)0 \end{matrix}\right.\)
b) Phương pháp mũ hóa
Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0
- \(a>1 \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)
- \(0
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
Các kiểu đặt ẩn phụ:
- Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
- Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
- Xem ẩn ban đầu là tham số
- Bất phương trình tích
- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn
d) Phương pháp hàm số
Các nội dung cần nhớ:
- Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)
- \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
- \(0
- Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
- Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
- Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
- Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
- \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
- \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.
Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
– Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.
– Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x – 1} \right)\) là:
A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)
B. \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]\)
C. \(\left( {0;1} \right)\)
D. \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right)\)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số \(a > 1\): \({\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .
Cách giải:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\).
Khi đó, \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x – 1} \right) \Leftrightarrow x \ge 2x – 1 \Leftrightarrow – x \ge – 1 \Leftrightarrow x \le 1\).
Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(\dfrac{1}{2} < x \le 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]\).
Chọn B.
Chú ý khi giải:
Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x – 3 \le 0\) là:
A. \(\left( { – \infty ;\dfrac{1}{4}} \right]\)
B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { – \infty ; – 1} \right]\)
Phương pháp:
Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.
Cách giải:
Điều kiện: \(x > 0\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x – 3 \le 0 \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x – 3 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x – 3 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 3 \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Kết hợp điều kiện \(x > 0\) ta được \(x \ge \dfrac{1}{4}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\).
Chọn C.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
– Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.
– Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.
Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của \(m\) để bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\).
A. \(m = 4\)
B. \(m = 2\)
C. \(m = 5\)
D. \(m = 3\)
Phương pháp:
– Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.
– Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số \(5\), nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
– Giải điều kiện trên suy ra \(m\).
Cách giải:
Điều kiện: \(m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ‘ = 4 – {m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow {\log _5}5 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5 \ge m{x^2} + 4x + m \Leftrightarrow \left( {m – 5} \right){x^2} + 4x + m – 5 \le 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – 5 < 0\\\Delta ‘ = 4 – {\left( {m – 5} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\ – {m^2} + 10m – 21 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện trên ta được \(2 < m \le 3\).
Do đó giá trị lớn nhất của \(m\) thỏa mãn là \(m = 3\).
Chọn D.
Ví dụ Bất phương trình lôgarit
Ví dụ 5:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5.\)
Lời giải:
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)
\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} – x – \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le – 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Ví dụ 6:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 – {{\log }_9}x} \right) < 1.\)
Lời giải:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 – 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\)
Khi đó: \({\log _2}(1 – 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 – 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 7:
Giải bất phương trình \(\log _2^2x – 5{\log _2}x – 6 \le 0.\)
Lời giải:
Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} – 5t – 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t – 6) \le 0\\ \Leftrightarrow – 1 \le t \le 6 \end{array}\)
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} – 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)
Ví dụ 8:
Giải bất phương trình \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\)
Lời giải:
ĐK: \(x>1\)
Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { – 1; + \infty } \right).\)
Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\)
\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { – 1; + \infty } \right).\)
Mặt khác \(f(2) = 3\)
Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
====
xem trắc nghiệm
Trả lời