• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Học toán Bài 6 Bất phương trình Logarit

Đăng ngày: 10/10/2019 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:BPT logarit, Học toán giải tích 12 chương 2

Mục lục:

  1. Bất phương trình lôgarit
  2. Kiến thức cần nhớ
  3. a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
  4. b) Phương pháp mũ hóa
  5. c) Phương pháp đặt ẩn phụ
  6. d) Phương pháp hàm số
  7. Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.
  8. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.
  9. Ví dụ Bất phương trình lôgarit
    1. Ví dụ 5:
    2. Lời giải:
    3. Ví dụ 6: 
    4. Lời giải: 
    5. Ví dụ 7:
    6. Lời giải:
    7. Ví dụ 8:
adsense

Bất phương trình lôgarit

Kiến thức cần nhớ

– Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {\log _a}x\)

+ Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến.

+ Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến.

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
Với \(0\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)0 \end{matrix}\right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0

  • ​\(a>1 \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)
  • ​\(0

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ:

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
    • Xem ẩn ban đầu là tham số
    • Bất phương trình tích
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

  • Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)
    • \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
    • ​\(0
  • Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
    • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
    • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
    • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
      • \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
      • \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.

Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

– Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

– Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của cơ số \(a\).

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x – 1} \right)\) là:

A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]\)

C. \(\left( {0;1} \right)\)

D. \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right)\)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số \(a > 1\): \({\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .

Cách giải:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\).

Khi đó, \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x – 1} \right) \Leftrightarrow x \ge 2x – 1 \Leftrightarrow  – x \ge  – 1 \Leftrightarrow x \le 1\).

Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(\dfrac{1}{2} < x \le 1\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]\).

Chọn B.

Chú ý khi giải:

Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x – 3 \le 0\) là:

A. \(\left( { – \infty ;\dfrac{1}{4}} \right]\)

B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

C. \(\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\)

D. \(\left( { – \infty ; – 1} \right]\)

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

Điều kiện: \(x > 0\)

\(\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x – 3 \le 0 \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x – 3 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x – 3 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 3 \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(x > 0\) ta được \(x \ge \dfrac{1}{4}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

– Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

– Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

adsense

Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của \(m\) để bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\).

A. \(m = 4\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = 5\)

D. \(m = 3\)

Phương pháp:

– Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.

– Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số \(5\), nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

– Giải điều kiện trên suy ra \(m\).

Cách giải:

Điều kiện: \(m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ‘ = 4 – {m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow {\log _5}5 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5 \ge m{x^2} + 4x + m \Leftrightarrow \left( {m – 5} \right){x^2} + 4x + m – 5 \le 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – 5 < 0\\\Delta ‘ = 4 – {\left( {m – 5} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\ – {m^2} + 10m – 21 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện trên ta được \(2 < m \le 3\).

Do đó giá trị lớn nhất của \(m\) thỏa mãn là \(m = 3\).

Chọn D.

Ví dụ Bất phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5.\)

Lời giải:

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)

\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} – x – \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le – 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Ví dụ 6: 

Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 – {{\log }_9}x} \right) < 1.\)

Lời giải: 

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 – 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\)

Khi đó: \({\log _2}(1 – 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 – 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 7:

Giải bất phương trình \(\log _2^2x – 5{\log _2}x – 6 \le 0.\)

Lời giải:

Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l} {t^2} – 5t – 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t – 6) \le 0\\ \Leftrightarrow – 1 \le t \le 6 \end{array}\)

Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} – 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)

Ví dụ 8:

Giải bất phương trình  \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\)

Lời giải:

ĐK: \(x>1\)

Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { – 1; + \infty } \right).\)

Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\)

\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { – 1; + \infty } \right).\)

Mặt khác \(f(2) = 3\)

Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)

====

xem trắc nghiệm

Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ

Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:BPT logarit, Học toán giải tích 12 chương 2

Bài liên quan:

  1. Đề Kiểm Tra 1 tiết môn toán – chương 2 giải tích 12
  2. Học toán ôn tập chương 2 giải tích 12
  3. Học toán Bài 6 Bất phương trình mũ
  4. Học toán Bài 5 phương trình lôgarit
  5. Học toán Bài 5 Phương trình mũ
  6. Học toán Bài 4 Hàm số mũ Hàm số lôgarit
  7. Học toán Bài 3 Lôgarit
  8. Học toán Bài 2: Hàm số lũy thừa
  9. Học toán bài 1 Lũy thừa
  10. Giải bài tập Bài 6 Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit – SGK Giải tích 12 cơ bản

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.