Học toán Bài 6 Bất phương trình mũ - Sách Toán

Tóm tắt lý thuyết

Các kiến thức cần nhớ

– Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {a^x}\)

+ Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến.

+ Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến.

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Nếu \(a>1\):
- \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
- \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
Nếu \(0 < a < 1\)

\({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)

Phương pháp lôgarit hóa

Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{ }}(1)\)

\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < {\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)

\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Phương pháp đặt ẩn phụ

Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
- \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
- \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
- \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)

Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:

\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
- Đưa về bất phương trình tích.
- Xem ẩn ban đầu như là tham số.
Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:
- Đưa về bất phương trình tích.
- Xem 1 ẩn là tham số.

Phương pháp hàm số

Xét hàm số \(y=a^x\):
- Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
- Nếu \(0 < a < 1:y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
- \(f(x)\)đồng biến trên D.
- \(g(x)\) nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

Dạng 1: Giải bất phương trình mũ.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

– Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, logarit hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

– Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình mũ cần chú ý đến điều kiện của cơ số \(a\).

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x} \ge {3^{2x – 1}}\) là:

A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( { – \infty ;1} \right)\)

C. \(\left( {1; + \infty } \right)\)

D. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ với cơ số \(a > 1\): \({a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .

Cách giải:

\({3^x} \ge {3^{2x – 1}} \Leftrightarrow x \ge 2x – 1 \Leftrightarrow – x \ge – 1 \Leftrightarrow x \le 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { – \infty ;1} \right]\).

Chọn A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0\) là:

A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( { – 1; + \infty } \right)\)

C. \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

D. \(\left( { – \infty ;0} \right]\)

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} – 1} \right]\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} + 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow x \ge 0\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

– Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

– Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Ví dụ: Tìm \(m\) để bất phương trình \(m{.4^x} – 2 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).

A. \(m \in R\)

B. \(m = 0\)

C. \(m > 0\)

D. \(m \le 0\)

Phương pháp:

– Biến đổi bất phương trình đã cho về \(m{.4^x} < 2\).

– Biện luận bất phương trình theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Ta có: \(m{.4^x} – 2 < 0 \Leftrightarrow m{.4^x} < 2\).

+ Nếu \(m \le 0\) thì \(m{.4^x} \le 0 < 2\) đúng với mọi \(x\).

+ Nếu \(m > 0\) thì \(m{.4^x} < 2 \Leftrightarrow {4^x} < \dfrac{2}{m} \Leftrightarrow x < {\log _4}\dfrac{2}{m}\), do đó bất phương trình không nghiệm đúng với mọi \(x\).

Vậy \(m \le 0\).

Chọn D.

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}.\)

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 – 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ – 1}}\)

Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} – 3}} \Leftrightarrow x – 1 \ge {x^2} – 3\)

\(\Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \le 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { – 1;2} \right]\)

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình \({2^{{x^2} – 4}} \ge {5^{x – 2}}.\)

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có:

\({\log _2}\left( {{2^{{x^2} – 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x – 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} – 4 \ge \left( {x – 2} \right){\log _2}5\)

\(\Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 – {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 – 2 \end{array} \right.\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { – \infty ;{{\log }_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0\).

Lời giải:

\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ – 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { – 1;1} \right].\)

Ví dụ 4:

Giải bất phương trình \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)

Lời giải:

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)

Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\)

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { – \infty ;2} \right).\)