• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Học toán Bài 6 Bất phương trình mũ

Đăng ngày: 10/10/2019 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:BPT mu, Học toán giải tích 12 chương 2

Mục lục:

  1. Tóm tắt lý thuyết
    1.  Các kiến thức cần nhớ
    2. Phương pháp đưa về cùng cơ số
    3. Phương pháp lôgarit hóa
    4. Phương pháp đặt ẩn phụ
    5. Phương pháp hàm số
    6. Dạng 1: Giải bất phương trình mũ.
    7. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.
  2. Các ví dụ minh họa
    1. Ví dụ 1:
    2. Lời giải:
    3. Ví dụ 2:
    4. Lời giải:
    5. Ví dụ 3:
    6. Lời giải:
    7. Ví dụ 4:
    8. Lời giải:
adsense

Tóm tắt lý thuyết

 Các kiến thức cần nhớ

– Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {a^x}\)

+ Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến.

+ Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến.

Phương pháp đưa về cùng cơ số

  • Nếu \(a>1\):
    • \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
    • ​\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
  • Nếu \(0 < a < 1\)

\({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)

Phương pháp lôgarit hóa

  • Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{  }}(1)\)

\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < {\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

  • Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)

\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Phương pháp đặt ẩn phụ

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
    • \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\)​: Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
    • \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
    •  \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)

Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:

​\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Đưa về bất phương trình tích.
    • Xem ẩn ban đầu như là tham số.
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Đưa về bất phương trình tích.
    • Xem 1 ẩn là tham số.

Phương pháp hàm số

  • Xét hàm số \(y=a^x\):
    • Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
    • Nếu \(0 < a < 1:y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
  • Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
  • Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
  • Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
    • \(f(x)\)đồng biến trên D.
    • \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

Dạng 1: Giải bất phương trình mũ.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

– Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, logarit hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

– Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình mũ cần chú ý đến điều kiện của cơ số \(a\).

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x} \ge {3^{2x – 1}}\) là:

A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( { – \infty ;1} \right)\)

C. \(\left( {1; + \infty } \right)\)

D. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ với cơ số \(a > 1\): \({a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .

Cách giải:

\({3^x} \ge {3^{2x – 1}} \Leftrightarrow x \ge 2x – 1 \Leftrightarrow  – x \ge  – 1 \Leftrightarrow x \le 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { – \infty ;1} \right]\).

Chọn A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0\) là:

A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( { – 1; + \infty } \right)\)

C. \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

D. \(\left( { – \infty ;0} \right]\)

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} – 1} \right]\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} + 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow x \ge 0\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

adsense

– Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

– Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Ví dụ: Tìm \(m\) để bất phương trình \(m{.4^x} – 2 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).

A. \(m \in R\)

B. \(m = 0\)

C. \(m > 0\)

D. \(m \le 0\)

Phương pháp:

– Biến đổi bất phương trình đã cho về \(m{.4^x} < 2\).

– Biện luận bất phương trình theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Ta có: \(m{.4^x} – 2 < 0 \Leftrightarrow m{.4^x} < 2\).

+ Nếu \(m \le 0\) thì \(m{.4^x} \le 0 < 2\) đúng với mọi \(x\).

+ Nếu \(m > 0\) thì \(m{.4^x} < 2 \Leftrightarrow {4^x} < \dfrac{2}{m} \Leftrightarrow x < {\log _4}\dfrac{2}{m}\), do đó bất phương trình không nghiệm đúng với mọi \(x\).

Vậy \(m \le 0\).

Chọn D.

Các ví dụ minh họa

 

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình  \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}.\)

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 – 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ – 1}}\)

Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} – 3}} \Leftrightarrow x – 1 \ge {x^2} – 3\)

\(\Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \le 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { – 1;2} \right]\)

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình \({2^{{x^2} – 4}} \ge {5^{x – 2}}.\)

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có:

\({\log _2}\left( {{2^{{x^2} – 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x – 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} – 4 \ge \left( {x – 2} \right){\log _2}5\)

\(\Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 – {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 – 2 \end{array} \right.\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { – \infty ;{{\log }_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0\).

Lời giải:

\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ – 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { – 1;1} \right].\)

Ví dụ 4:

Giải bất phương trình  \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)

Lời giải:

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)

Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\)

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { – \infty ;2} \right).\)

Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:BPT mu, Học toán giải tích 12 chương 2

Bài liên quan:

  1. Đề Kiểm Tra 1 tiết môn toán – chương 2 giải tích 12
  2. Học toán ôn tập chương 2 giải tích 12
  3. Học toán Bài 6 Bất phương trình Logarit
  4. Học toán Bài 5 phương trình lôgarit
  5. Học toán Bài 5 Phương trình mũ
  6. Học toán Bài 4 Hàm số mũ Hàm số lôgarit
  7. Học toán Bài 3 Lôgarit
  8. Học toán Bài 2: Hàm số lũy thừa
  9. Học toán bài 1 Lũy thừa
  10. Giải bài tập Bài 6 Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit – SGK Giải tích 12 cơ bản

Reader Interactions

Bình luận

  1. admin viết

    10/10/2019 lúc 8:10 chiều

    Trắc nghiệm
    Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ

    Trả lời

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.