Tóm tắt lý thuyết
Các kiến thức cần nhớ
– Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {a^x}\)
+ Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến.
+ Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến.
Phương pháp đưa về cùng cơ số
- Nếu \(a>1\):
- \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
- \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
- Nếu \(0 < a < 1\)
\({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
Phương pháp lôgarit hóa
- Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{ }}(1)\)
\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < {\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
- Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)
\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Phương pháp đặt ẩn phụ
- Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
- \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
- \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
- \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)
Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:
\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)
Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
- Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
- Đưa về bất phương trình tích.
- Xem ẩn ban đầu như là tham số.
- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:
- Đưa về bất phương trình tích.
- Xem 1 ẩn là tham số.
Phương pháp hàm số
- Xét hàm số \(y=a^x\):
- Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
- Nếu \(0 < a < 1:y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
- Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
- Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
- Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
- \(f(x)\)đồng biến trên D.
- \(g(x)\) nghịch biến trên D.
⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
Dạng 1: Giải bất phương trình mũ.
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
– Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, logarit hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.
– Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.
Khi giải bất phương trình mũ cần chú ý đến điều kiện của cơ số \(a\).
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x} \ge {3^{2x – 1}}\) là:
A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)
B. \(\left( { – \infty ;1} \right)\)
C. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ với cơ số \(a > 1\): \({a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .
Cách giải:
\({3^x} \ge {3^{2x – 1}} \Leftrightarrow x \ge 2x – 1 \Leftrightarrow – x \ge – 1 \Leftrightarrow x \le 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { – \infty ;1} \right]\).
Chọn A.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0\) là:
A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)
B. \(\left( { – 1; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { – \infty ;0} \right]\)
Phương pháp:
Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} – 1} \right]\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} + 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} – 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow x \ge 0\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Chọn C.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
– Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.
– Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.
Ví dụ: Tìm \(m\) để bất phương trình \(m{.4^x} – 2 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).
A. \(m \in R\)
B. \(m = 0\)
C. \(m > 0\)
D. \(m \le 0\)
Phương pháp:
– Biến đổi bất phương trình đã cho về \(m{.4^x} < 2\).
– Biện luận bất phương trình theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
Ta có: \(m{.4^x} – 2 < 0 \Leftrightarrow m{.4^x} < 2\).
+ Nếu \(m \le 0\) thì \(m{.4^x} \le 0 < 2\) đúng với mọi \(x\).
+ Nếu \(m > 0\) thì \(m{.4^x} < 2 \Leftrightarrow {4^x} < \dfrac{2}{m} \Leftrightarrow x < {\log _4}\dfrac{2}{m}\), do đó bất phương trình không nghiệm đúng với mọi \(x\).
Vậy \(m \le 0\).
Chọn D.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 – 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ – 1}}\)
Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} – 3}} \Leftrightarrow x – 1 \ge {x^2} – 3\)
\(\Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \le 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 2\)
Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { – 1;2} \right]\)
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình \({2^{{x^2} – 4}} \ge {5^{x – 2}}.\)
Lời giải:
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có:
\({\log _2}\left( {{2^{{x^2} – 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x – 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} – 4 \ge \left( {x – 2} \right){\log _2}5\)
\(\Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 – {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 – 2 \end{array} \right.\)
Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { – \infty ;{{\log }_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)
Ví dụ 3:
Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0\).
Lời giải:
\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)
Đặt \(t = {3^x} > 0\).
Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ – 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1\)
Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { – 1;1} \right].\)
Ví dụ 4:
Giải bất phương trình \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)
Lời giải:
Chia 2 vế của phương trình cho ta được:
\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)
Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\)
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.
Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\)
Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { – \infty ;2} \right).\)
admin viết
Trắc nghiệm
Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ