Câu hỏi:
Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là r, trong đó ba mặt tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính chiều cao của hình nón.
- A. \(r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
- B. \(r\left( {2 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\)
- C. \(r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\)
- D. \(r\left( {1 + \sqrt 6 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
Gọi S, A, B, C lần lượt là tâm của các mặt cầu thứ tư và ba mặt cầu tiếp xúc đáy (như hình vẽ)
Khi đó S.ABC là khối tứ diện đều cạnh 2r.
Gọi I là tâm của tam giác \(ABC \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)
Tam giác ABC đều cạnh \(2r \Rightarrow AI = \frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}\)
Tam giác SAI vuông tại I, có
\(SI = \sqrt {S{A^2} – I{A^2}} = \sqrt {4{r^2} – {{\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}r\)
Ta thấy rằng \(\Delta SMH \sim \Delta ASI\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra
\(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SH}}{{AI}} \Rightarrow SM = \frac{{SA.AH}}{{AN}} = \frac{{2r.r}}{{\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}}} = r\sqrt 3 \)
Vậy chiều cao của khối nón là \(h = SM + SI + ID = r\sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}r + r = r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right).\)
=======
Xem thêm Lý thuyết khối tròn xoay
Trả lời