Câu hỏi:
Hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu nếu đáy và tất cả các đường sinh của nó đều tiếp xúc với mặt cầu. Cho mặt cầu bán kính \(R = \sqrt 3 \), tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối nón được tạo ra bởi hình nón ngoại tiếp mặt cầu.
- A. \(V = \frac{{20\pi \sqrt 2 }}{3}\)
- B. \(V = \frac{{26\pi \sqrt 2 }}{3}\)
- C. \(V = 8\pi \sqrt 3 \)
- D. \(V = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{3}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
Đặt \(\widehat {OIA} = a \Rightarrow \widehat {SIM} = 180^\circ – 2a\)
Ta có: \(OA = R\tan a;SI = \frac{{MI}}{{\cos \widehat {SIM}}} = \frac{R}{{\cos \left( {180^\circ – 2a} \right)}} = \frac{R}{{ – \cos 2a}}\)
Suy ra \({V_N} = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {R^2}{\tan ^2}a.\left( {\frac{{ – R}}{{\cos 2a}} + R} \right)\)
\( = \frac{1}{3}\pi {R^3}.{\tan ^2}a\left( {1 – \frac{1}{{\cos 2a}}} \right)\)
Xét \({\tan ^2}a\left( {1 – \frac{1}{{\cos 2a}}} \right) = {\tan ^2}a.\frac{{ – 2{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a – {{\sin }^2}a}} = \frac{{ – 2{{\tan }^4}a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}\,\,\,\,f\left( t \right) = \frac{{2{t^2}}}{{t – 1}}\,\left( {t = {{\tan }^2}a > 0} \right)\)
Suy ra \(f’\left( t \right) = 2.\frac{{{t^2} – 2t}}{{{{\left( {t – 1} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow \min f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 8 \Rightarrow {V_{\min }} = \frac{1}{3}.\pi .3\sqrt 3 .8 = 8\pi \sqrt 3 \)
=======
Xem thêm Lý thuyết khối tròn xoay
Trả lời