Đề: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150m3. Đáy bể làm bằng bê tông giá 100000 đ/ m2. Phần thân làm bằng tôn giá 90000đ/m2 nắp bằng nhôm giá 120000đ/m2. Hỏi khi chi phí sản xuất bể đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?

Gọi bán kính đáy là R, chiều cao là h.

Ta có \(V = \pi {R^2}h = 150 \Rightarrow h = \frac{{150}}{{\pi {R^2}}}(*)\)

Diện tích đáy là \(\pi R^2\) suy ra chi phí làm đáy là: \(10 \pi R^2\) (chục nghìn đồng)

Diện tích thân là: \(2\pi Rh = 2\pi R.\frac{{150}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{300}}{R}\) suy ra chi phí làm thân là: \(9.\frac{{300}}{R} = \frac{{2700}}{R}\) (chục nghìn đồng)

Diện tích nắp là: \(\pi R^2\) suy ra chi phí làm nắp là: \(12 \pi R^2\)

Chi phí sản xuất bể là: \(10\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R} + 12\pi {R^2} = 22\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R}\) (chục nghìn đồng).

Xét hàm số \(f(R) = 22\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R},R > 0\)  

\(f'(R) = 44\pi R – \frac{{2700}}{{{R^2}}}\)

\(f'(R) = 0 \Leftrightarrow \frac{{44\pi {R^3} – 2700}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}\)

Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại  \(R = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}.\)

Từ (*) ta có: \(\frac{h}{R} = \frac{{150}}{{\pi {R^3}}} = \frac{{22}}{9}.\)