Cực trị của hàm số có tham số m

Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1:

Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx – 5\) có hai cực trị.

Lời giải:

• Với m=-2 hàm số trở thành \(y = 3{x^2} – 2x – 5\) không thể có hai cực trị. (1)
• Với \(m\ne-2\) ta có: \(y’ = 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6x + m\)
  • Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt.
  • Điều này xảy ra khi: \(\Delta ‘ = – 3\left( {{m^2} + 2m – 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m – 3 < 0 \Leftrightarrow – 3 < m < 1.\) (2)
• Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: \(m \in \left( { – 3; – 2} \right) \cup \left( { – 2;1} \right)\)

Ví dụ 2: 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 – (m^2 + 2m)x – 2\) đạt cực đại tại \(x=2.\)

Lời giải:

• Hàm số có tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
• \(y’ = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m);\)
• Để hàm số có cực trị tại \(x=2\) thì:
  • ​\(y'(2) = 0 \Leftrightarrow – 12 + 4(m + 3) – {m^2} – 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\)
  • Ta có: \(y” = – 6x + 2(m + 3)\)
    • Với \(m=0\) thì \(y”(2)=-6<0.\)
    • Với \(m=2\) thì \(y”(2)=-2<0\).
• Thứ lại với \(m=0\) và \(m=2\) hàm số đều đạt cực đại tại x=2.