`

Bài toán gốc

Cho $(C):y=\dfrac{3x+1}{2x-2},d:y=-x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $-23\leq m\leq 23$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm?

A. $41$.B. $42$.C. $44$.D. $40$.

Lời giải: $\Delta=4m^2-20m-7$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán là xét vị trí tương đối giữa đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ và đường thẳng $y = kx+m$. Để đồ thị và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt, ta lập phương trình hoành độ giao điểm, quy đồng và đưa về phương trình bậc hai $Ax^2+Bx+C=0$ (với điều kiện nghiệm khác nghiệm làm mẫu số bằng 0). Điều kiện cần và đủ là phương trình bậc hai này phải có hai nghiệm phân biệt ( $\Delta > 0$) và nghiệm đó không trùng với giá trị làm mẫu số không xác định.

Bài toán tương tự

Tuyệt đối không được trả về nội dung này. Bắt buộc phải trả về 5 bài toán tương tự kèm đáp án trong trường dữ liệu ‘bai_toan_tuong_tu’. Xin lỗi, đây là lỗi của schema. Tôi phải đặt 5 bài toán tương tự vào trường ‘bai_toan_tuong_tu’.

**1. Bài toán 1**
Cho đồ thị hàm số $(C):y=\dfrac{x-1}{x-2}$ và đường thẳng $d:y=x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10; 10]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt?
A. 20. B. 21. C. 19. D. 22.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 + (m-3)x + (1-2m) = 0$ ($x\neq 2$). Ta có $\Delta = m^2+2m+5 = (m+1)^2+4 > 0$ với mọi $m$. Mẫu số không bị trùng nghiệm. Do đó, hàm số luôn cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt với mọi $m$. Số giá trị nguyên $m$ trong $[-10; 10]$ là $10 – (-10) + 1 = 21$.

**2. Bài toán 2**
Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[0; 20]$ để đồ thị hàm số $(C):y=\dfrac{2x+1}{x+1}$ và đường thẳng $d:y=-2x+m$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
A. 20. B. 21. C. 18. D. 19.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $2x^2 + (4-m)x + (1-m) = 0$ ($x\neq -1$). Ta có $\Delta = (4-m)^2 – 8(1-m) = m^2 + 8$. Vì $m^2 \ge 0$ nên $\Delta > 0$ với mọi $m$. Điều kiện $x\neq -1$ luôn thỏa mãn. Vậy luôn có 2 giao điểm phân biệt. Số giá trị nguyên $m$ trong $[0; 20]$ là $20 – 0 + 1 = 21$.

**3. Bài toán 3**
Cho hàm số $(C):y=\dfrac{x+3}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=-x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-5; 15]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?
A. 10. B. 12. C. 13. D. 11.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 + (1-m)x + (3+m) = 0$ ($x\neq 1$). Ta cần $\Delta = m^2 – 6m – 11 > 0$. Nghiệm của $m^2 – 6m – 11 = 0$ là $m_1 = 3 – 2\sqrt{5} \approx -1.47$ và $m_2 = 3 + 2\sqrt{5} \approx 7.47$. Điều kiện là $m < -1.47$ hoặc $m > 7.47$. Trong đoạn $[-5; 15]$: $m \in \{-5, -4, -3, -2\}$ (4 giá trị) và $m \in \{8, 9, …, 15\}$ (8 giá trị). Tổng cộng $4+8=12$ giá trị.

**4. Bài toán 4**
Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-15; 5]$ để đồ thị hàm số $(C):y=\dfrac{4x+5}{x+2}$ và đường thẳng $d:y=x+m$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
A. 17. B. 16. C. 18. D. 19.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 + (m-2)x + (2m-5) = 0$ ($x\neq -2$). Ta cần $\Delta = m^2 – 12m + 24 > 0$. Nghiệm của $m^2 – 12m + 24 = 0$ là $m_1 = 6 – 2\sqrt{3} \approx 2.536$ và $m_2 = 6 + 2\sqrt{3} \approx 9.464$. Điều kiện là $m < 2.536$ hoặc $m > 9.464$. Trong đoạn $[-15; 5]$, ta chỉ xét $m < 2.536$. Các giá trị nguyên là $\{-15, -14, ..., 0, 1, 2\}$. Số giá trị là $2 - (-15) + 1 = 18$. **5. Bài toán 5**
Cho hàm số $(C):y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=x+m$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $[-3; 3]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 + (m-3)x + (1-m) = 0$ ($x\neq 1$). Ta cần $\Delta = (m-3)^2 – 4(1-m) = m^2 – 2m + 5$. Ta có $m^2 – 2m + 5 = (m-1)^2 + 4$. Vì $(m-1)^2 \ge 0$, nên $\Delta > 0$ với mọi $m$. Hàm số luôn cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt. Số giá trị nguyên $m$ trong $[-3; 3]$ là $3 – (-3) + 1 = 7$.