20. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(M\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(B\) và \(N\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(S\) có thể tích \({V_1}\), khối đa diện còn lại có thể tích \({V_2}\) (tham khảo hình vẽ). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)?

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
20. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(M\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(B\) và \(N\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(S\) có thể tích \({V_1}\), khối đa diện còn lại có thể tích \({V_2}\) (tham khảo hình vẽ). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)?

A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{12}}{7}\).

B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{3}\).

C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{5}\).

D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{5}\).

Lời giải

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I\) là giao điểm của \(MD\) và \(AB\), trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) gọi \(K\) là giao điểm của \(MN\) và \(SB\). Vì \(B\) là trung điểm của \(MC\) và \(N\) là trung điểm của \(SC\) nên \(K\) là trọng tâm \(\Delta SCM\) suy ra \(\frac{{SK}}{{SB}} = \frac{{MK}}{{MN}} = \frac{2}{3}\). 

Ta có:

\(\frac{{{V_{A.NCD}}}}{{{V_{A.SCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}d\left( {N;\left( {ACD} \right)} \right).{S_{SCD}}}}{{\frac{1}{3}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right).{S_{SCD}}}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{2}\) \( = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\), suy ra \({V_{A.NCD}} = \frac{1}{2}{V_{A.SCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\).

Lại có \(MC = 2AD\) và \(MC\;{\rm{//}}\;AD\) suy ra

\({V_{M.NCD}} = 2{V_{A.NCD}}\) \( = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\) (vì \(\frac{{d\left( {M;\left( {NCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {NCD} \right)} \right)}} = \frac{{MC}}{{AD}} = 2\))

\(\frac{{{V_{M.BKI}}}}{{{V_{M.NCD}}}} = \frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{MI}}{{MD}} \cdot \frac{{MK}}{{MN}}\)\( = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\)\( = \frac{1}{6}\)\( \Rightarrow {V_{M.BKI}} = \frac{1}{6}{V_{M.CND}}\) \( = \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\).

\({V_2} = {V_{M.NCD}} – {V_{M.KBI}}\)\( = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} – \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\)\( = \frac{5}{{12}}{V_{S.ABCD}}\).

\({V_1} = {V_{S.ABCD}} – \frac{5}{{12}}{V_{S.ABCD}} = \frac{7}{{12}}{V_{S.ABCD}}\). 

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{5}\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)