12. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\). Biết \(AB = 4a\), \(AD = CD = 2a\). Cạnh bên \(SA = 3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\), \(M\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {MA}  =  – 2\overrightarrow {MS} \) và \(E\) là trung điểm cạnh \(CD\) ( tham khảo hình vẽ). Tính thể tích \(V\) của khối đa diện \(MGABE\). 

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
12. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\). Biết \(AB = 4a\), \(AD = CD = 2a\). Cạnh bên \(SA = 3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\), \(M\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {MA}  =  – 2\overrightarrow {MS} \) và \(E\) là trung điểm cạnh \(CD\) ( tham khảo hình vẽ). Tính thể tích \(V\) của khối đa diện \(MGABE\). 

A. \(\frac{{27{a^3}}}{8}\).

B. \(\frac{{10{a^3}}}{3}\).

C. \(\frac{{13{a^3}}}{4}\).

D. \(\frac{{25{a^3}}}{9}\).

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 

Ta có : \(A\left( {0 & ;\,0\,;\,0} \right)\), \(S\left( {0\,;\,0\,;\,3a} \right)\), \(B\left( {0\,;\,4a\,;\,0} \right)\), \(D\left( {2\,a;\,0\,;\,0} \right)\), \(C\left( {2a\,;\,2a\,;\,0} \right)\).

Do \(E\) là trung điểm của \(CD\) nên \(E\left( {2a\,;\,a\,;\,0} \right)\), \(G\)là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(G\left( {\frac{2}{3}a\,;\,2a\,;\,a} \right)\).

\(\overrightarrow {MA}  =  – 2\overrightarrow {MS} \, \Rightarrow M\left( {0\,;\,0\,;\,2a} \right)\).

Ta có : \(\overrightarrow {AM}  = \left( {0\,;\,0\,;\,2a} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0\,;\,4a\,;\,0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { – 8{a^2}\,;\,0\,;\,0} \right)\) ; \(\overrightarrow {AE}  = \left( {2a\,;\,a\,;\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {EM}  = \left( { – 2\,a;\, – a\,;\,2a} \right)\), \(\overrightarrow {EB}  = \left( { – 2a\,;\,3a\,;\,0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {EM} \,,\,\overrightarrow {EB} } \right] = \left( { – 6{a^2}\,;\, – 4{a^2}\,;\, – 8{a^2}} \right)\) 

\(\overrightarrow {EG}  = \left( {\frac{{ – 4}}{3}a\,;a\,;\,a} \right)\).

Ta có : \({V_{MGABE}} = {V_{AMBE}} + {V_{GMBE}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {AB} } \right].\overrightarrow {AE} } \right| + \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {EM} \,,\,\overrightarrow {EB} } \right].\overrightarrow {EG} } \right|\)

 \( = \frac{1}{6}\left| { – 16{a^3}} \right| + \frac{1}{6}\left| {8{a^3} – 4{a^3} – 8{a^3}} \right| = \frac{{10{a^3}}}{3}\)

Vậy \({V_{MGABE}} = \frac{{10{a^3}}}{3}\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)