Xét một hệ trục tọa độ $Oxyz$ được cho sẵn, đơn vị trên mỗi trục là $dm$, mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}=6$, quả bóng nằm yên trên sàn nhà

Xét một hệ trục tọa độ $Oxyz$ được cho sẵn, đơn vị trên mỗi trục là $dm$, mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}=6$, quả bóng nằm yên trên sàn nhà. Người ta nhìn thấy một tấm ván ngã xuống đè lên quả bóng, phần giao của tấm ván và sàn nhà là đường thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z}{1}$. Gọi $A,B$ lần lượt là hai tiếp điểm của tấm ván, sàn nhà với quả bóng và $I$ là tâm quả bóng.
a) Quả bóng có tâm $I\left(2;-1;-1\right)$ và bán kính $R=\sqrt {6} $.
b) Khoảng cách từ tâm quả bóng đến đường thẳng $d$ bằng $2\sqrt {6} $.
c) Nếu $\mathrm{\,cos}AIB$ bằng $\dfrac{a}{b}$ (phân số tối giản) thì giá trị $a^{2}+b^{2}=82$.
d) Một con kiến bò từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ trên quả bóng với tốc độ $2\mathrm{\,\;cm}/\mathrm{\,s}$; thời gian ngắn nhất cho chuyến đi này là 21 giây (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lòi giải:

a) Mệnh đề đúng.

Mặt ngoài quả bóng là mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(2;-1;-1\right)$ và bán kính $R=\sqrt {6} $.
b) Mệnh đề sai.

Đường thẳng $d:\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z}{1}$ qua $A\left(-2;-1;0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u_{d}=\left(2;-3;1\right)$.
Ta có: $\overrightarrow {AI} =\left(4;0;-1\right);\left[{\vec u}_{d},\overrightarrow {AI} \right]=\left(3;6;12\right)$.
Do đó $d\left(I,d\right)=\dfrac{\mid {\vec u}_{d},\overrightarrow {AI} ||}{\left|{\vec u}_{d}\right|}=\dfrac{\sqrt {3^{2}+6^{2}+12^{2}} }{\sqrt {2^{2}+(-3)^{2}+1^{2}} }=\dfrac{3\sqrt {6} }{2}$.
c) Mệnh đề đúng.

Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $d$ thì $KI=\dfrac{3\sqrt {6} }{2}$ và $KA\bot IA$; suy ra $\mathrm{\,cos}AIK=\dfrac{IA}{IK}=\dfrac{2}{3}$.

Do vậy $\mathrm{\,cos}AIB=2\mathrm{\,co}\mathrm{\,s}^{2}AIK-1$

$=2 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}-1=-\dfrac{1}{9}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow a^{2}+b^{2}=82$.
d) Mệnh đề sai.

Độ dài cung tròn bé nhất mà con kiến có thể đi: $l_{AB}=R \times AIB=\sqrt {6}  \times \mathrm{\,arccos}\left(-\dfrac{1}{9}\right)\approx 4,12\mathrm{\,dm}$.
Thời gian tối thiểu để kiến đến nơi là $\dfrac{l_{AB} \times 10}{2}\approx 21$ giây.