a) Phương trình chính tắc của đường cáp là $\dfrac{x-10}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z}{1}$.
b) Giả sử sau $t$ giây kể từ lúc xuất phát $t>0$, cabin đến vị trí điểm $M$. Khi đó tọa độ của điểm $M$ là $\left(3t+10;-3t+3;\dfrac{3t}{2}\right)$.
c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ $x_{B}=550$. Quãng đường $AB$ có độ dài bằng $810\left(\mathrm{\,\;m}\right)$.
d) Đường cáp $AB$ tạo với mặt $Oxy$ một góc $22^{\circ }$ (làm tròn đến hàng đơn vị theo độ).
Lòi giải
a) Vì đường cáp đi qua điểm $A10;3;0$ có véctơ chỉ phương $\vec u=2;-2;1$ nên có phương trình chính tắc là $\dfrac{x-10}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z}{1}$. Do đó ý a) đúng.
b) Sau $t$ giây kể từ lúc xuất phát $t>0$, cabin đến vị trí điểm $M$. Khi đó cabin đi được đoạn đường có độ dài bằng đoạn $AM=4,5t$. Đặt $\dfrac{x-10}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z}{1}=u\Rightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=10+2u\\y=3-2u\\z=u\end{array}\right. $. Suy ra toạ độ điểm $M$ là $M10+2u;3-2u;u\mathrm{\,\;}u>0$. Khi đó $\mathrm{\,\;}AM=4,5t\Leftrightarrow 2u^{2}+-2u^{2}+u^{2}=4,5t^{2}\Leftrightarrow 9u^{2}=\dfrac{81}{4}t^{2}$. Vì $u>0\Rightarrow u=\dfrac{3}{2}t\Rightarrow M\left(10+3t;3-3t;\dfrac{3}{2}t\right)$. Do đó ý b) đúng.
c) Ta có: $B10+2u;3-2u;u\mathrm{\,\;}u>0.B$ có hoành độ $x_{B}=550\Rightarrow 10+2u=550\Rightarrow u=270$.
d) Đường cáp $AB$ có một véctơ chỉ phương $\vec u=2;-2;1$, mặt phẳng $Oxy$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec k=0;0;1$. Suy ra góc giữa đường cáp $AB$ và mặt phẳng $Oxy$ là $\varphi $ với $\mathrm{\,sin}\varphi =\dfrac{\left|\vec u\cdot \vec k\right|}{\left|\vec u\left|\cdot \right|\vec k\right|}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \varphi \approx 19^{\circ }$. Do đó ý d) sai.
Để lại một bình luận