Một căn phòng khách có hình dạng là một hình hộp chữ nhật được gắn trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ với các thông số như hình bên (đơn vị trên mỗi trục là mét). Coi mặt sàn nằm trên mặt phẳng $\left(Oxy\right)$. Theo thiết kế, chủ nhà muốn trang trí một đèn pha lê hình cầu có bán kính 15 cm được nối với trần nhà ở vị trí điểm $H$ bởi một dây dài 1 m ( $H$ là trung điểm của $EF$, biết $EF//PQ$ và $QF=4m$, hình bên)

Bài toán Một căn phòng khách có hình dạng là một hình hộp chữ nhật được gắn trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ với các thông số như hình bên (đơn vị trên mỗi trục là mét). Coi mặt sàn nằm trên mặt phẳng $\left(Oxy\right)$. Theo thiết kế, chủ nhà muốn trang trí một đèn pha lê hình cầu có bán kính 15 cm được nối với trần nhà ở vị trí điểm $H$ bởi một dây dài 1 m ( $H$ là trung điểm của $EF$, biết $EF//PQ$ và $QF=4m$, hình bên).

a) Cao độ tâm $I$ của đèn pha lê hình cầu là 3 .
b) Phương trình mặt cầu của đèn pha lê là $(x-2)^{2}+(y-6)^{2}+(z-3)^{2}=0,0225$.
c) Một người cao $1,8\mathrm{\,\;m}$ thì khi đi ngang qua phía dưới sẽ cách đèn ít nhất là 60 cm .
d) Tia sáng từ tâm đèn chiếu ra cắt sàn nhà tại $K$. Khoảng cách xa nhất từ $K$ tới $B$ là khoảng $10,77\mathrm{\,\;m}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lòi giải

Khoảng cách từ mối nối sợi dây và đèn pha lê đến sàn nhà là: $4-1=3\left(m\right)$.
Đèn pha lê có bán kính $15\mathrm{\,\;cm}=0,15\mathrm{\,\;m}$ nên khoảng cách từ tâm đèn đến sàn nhà là: $3-0,15=2,85\left(\mathrm{\,\;m}\right)$
Vậy cao độ tâm $I$ của đèn hình cầu là 2,85 . Do đó ý a) Sai.
Ta có $MF=10-4=6\left(m\right)$ nên tâm $I$ của đèn hình cầu có toạ độ là $I\left(2;6;2,85\right)$.
Do đó phương trình mặt cầu của đèn pha lê là: $(x-2)^{2}+(y-6)^{2}+(z-2,85)^{2}=0,0225$. Do đó ý b)
Sai.
Vị trí thấp nhất của đèn cách sàn nhà là: $3-0,15\cdot 2=2,7\left(\mathrm{\,\;m}\right)$.
Ta có: $2,7-1,8=0,9\left(\mathrm{\,\;m}\right)=90\left(\mathrm{\,\;cm}\right)$ nên một người cao $1,8\mathrm{\,\;m}$ khi đi ngang qua phía dưới sẽ cách đèn ít nhất 90 cm . Do đó ý c) Sai.
Khoảng cách xa nhất từ $K\equiv O$ tới $B$ là: $\sqrt {10^{2}+4^{2}} =2\sqrt {29} \approx 10,77\left(\mathrm{\,\;m}\right)$. Do đó ý d) Đúng.