Sao Thủy gần như không có khí quyển thật sự như Trái Đất hay sao Kim. Tuy nhiên, nó có một lớp khí rất mỏng gọi là exosphere – tức là thượng quyển loãng, gồm các hạt khí cực kỳ thưa thớt như hydro, heli, oxy, natri…

Bài toán: Sao Thủy gần như không có khí quyển thật sự như Trái Đất hay sao Kim. Tuy nhiên, nó có một lớp khí rất mỏng gọi là exosphere – tức là thượng quyển loãng, gồm các hạt khí cực kỳ thưa thớt như hydro, heli, oxy, natri…Trong không gian Oxyz, đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, vùng thượng quyển loãng của sao Thủy được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-4=0$. Các nhà khoa học không gian đang quan sát các tiểu hành tinh ở các vị trí có tọa độ $A\left(4;2;4\right),B\left(1;4;2\right)$ và xem xét sự di chuyển của chúng. Nếu tiểu hành tinh nằm trong vùng thượng quyển loãng thì nó sẽ bị hút xuống bề mặt sao Thủy.
a) Vùng thượng quyển loãng sao Thủy có tâm $\left(1;2;0\right)$, bán kính bằng 3 .
b) Hai tiểu hành tinh ở các vị trí $A,B$ sẽ bị hút xuống bề mặt sao Thủy.
c) Các nhà quan sát cho rằng có một sao chổi mang tên Haxen di chuyển theo quỹ đạo đường thẳng với vận tốc $51,5\mathrm{\,\;km}/\mathrm{\,s}$; khoảng cách ngắn nhất từ tâm sao Thủy đến sao chổi bằng $\dfrac{\sqrt {871} }{10}$ nghìn $km$. Thời gian sao chổi đi trong vùng thượng quyển loãng của sao Thủy bằng 20 giây (làm tròn đến hàng đơn vị của giây).
d) Sao chổi Haxen di chuyển theo phương vectơ $\vec u=\left(0;5;2\right)$. Giả sử $M,N$ là điểm đầu và điểm cuối mà sao chổi này đi qua thuộc vùng thượng quyển loãng của sao Thủy. Giá trị nhỏ nhất của tổng $AM+BN$ bằng 3970 km (làm tròn đến hàng đơn vị của km ).

Lòi giải:

a) Mệnh đề đúng.

Vùng thượng quyển loãng sao Thủy có tâm $I\left(1;2;0\right)$, bán kính $R=\sqrt {1^{2}+2^{2}+0^{2}+4} =3$.

b) Mệnh đề sai.

Ta có $IA=\sqrt {(4-1)^{2}+(2-2)^{2}+(4-0)^{2}} =5;IB=\sqrt {(1-1)^{2}+(4-2)^{2}+(2-0)^{2}} =2\sqrt {2} $.
Vì $IA>R;IB<R$ nên tiểu hành tinh $A$ nằm ngoài vùng thượng quyển loãng, còn tiểu hành tinh $B$ thì nằm tròn vùng thượng quyển loãng của sao Thủy và nó sẽ bị hút xuống bề mặt sao Thủy.

c) Mệnh đề sai.

Gọi $d$ là quỹ đạo đường thẳng của sao chổi và $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ trên $d$.

Gọi $M,N$ là điểm đầu và điểm cuối của sao chổi trong vùng thượng quyển loãng của sao Thủy.
Ta có $IH=\dfrac{\sqrt {871} }{10}$; suy ra $MN=2MH=2\sqrt {R^{2}-IH^{2}} =2\sqrt {9-\dfrac{871}{100}} =\dfrac{\sqrt {29} }{5}$ (nghìn km ).
Thời gian sao chổi di chuyển trong vùng thượng quyển loãng: $\dfrac{\sqrt {29} }{5} \times 1000:51,5\approx 21$ (giây).
d) Mệnh đề đúng.

Đặt $\overrightarrow {MN} =\left(0;5k;2k\right)$; ta có $MN^{2}=25k^{2}+4k^{2}=\dfrac{29}{25}\Rightarrow k=\dfrac{1}{5}$; suy ra $\overrightarrow {MN} =\left(0;1;\dfrac{2}{5}\right)$.

Chọn $C$ sao cho $AMNC$ là hình bình hành; suy ra $C\left(4;3;\dfrac{22}{5}\right)$.
Khi đó $AM=CN$ và $AM+BN=CN+BN\geq BC=\dfrac{\sqrt {394} }{5}\approx 3,97$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $AM+BN$ là khoảng 3970 km .