Chú ý. Khi ta lấy đối xứng tia $SI$ qua gương thì tia $IS’$ là tia đối của tia $IR$.
Trong căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật, có gương phẳng tròn tâm $E$ với độ dày không đáng kể, được treo trên tường là mặt phẳng $\left(FOC\right)$. Biết rằng $OCGF,OCND,OFKD$ là các hình chữ nhật; $OC=5\mathrm{\,\;m};OD=OF=4\mathrm{\,\;m};OM=3\mathrm{\,\;m};EM=1,5\mathrm{\,\;m};CA=1\mathrm{\,\;m}$. Một tia sáng được chiếu từ vị trí điểm $A$ tới $E$, tia sáng phản xạ qua gương phẳng tới điểm $B$ trên tường (tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ, mỗi đơn vị có độ dài 1 m .
a) Phương trình mặt phẳng $\left(ACE\right)$ là $3x+4z-15=0$.
b) Đường thẳng $AE$ đi qua điểm $J\left(1;3;3\right)$.
c) Gọi $\left(d\right)$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AE$ qua mặt phẳng $\left(OCGF\right)$. Góc giữa đường thẳng $\left(d\right)$ và mặt phẳng $\left(OCGF\right)$ là $41^{\circ }$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Gọi tọa độ điểm $B$ là $B\left(x_{0};y_{0};z_{0}\right)$ thì $2y_{0}+4z_{0}=18$.
Lòi giải
Ta có $O\left(0;0;0\right),A\left(5;1;0\right),C\left(5;0;0\right),D\left(0;4;0\right),E\left(3;0;1,5\right),F\left(0;0;4\right),M\left(3;0;0\right)$
Ta có $\overrightarrow {CA} =\left(0;1;0\right),\overrightarrow {CE} =\left(-2;0;1,5\right),\left[\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CE} \right]=\left(1,5;0;2\right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left(ACE\right):3x+4z-15=0$. Do đó ý a) Đúng.
Ta có $\overrightarrow {AE} =\left(-2;-1;1,5\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AE$.
Phương trình đường thẳng $AE:\dfrac{x-5}{-4}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z}{3}$. Kiểm tra đường thẳng $AE$ không đi qua điểm $J$ (1;3;3). Do đó ý b) Sai.
Do đường thẳng $\left(d\right)$ đối xứng với đường thẳng $AE$ qua mặt phẳng (OCGF) nên góc giữa đường thẳng $\left(d\right)$ và mặt phẳng $\left(OCGF\right)$ bằng góc giữa đường thẳng $AE$ và mặt phẳng $\left(OCGF\right)$.
Khi đó: $\vec n=\left(0;1;0\right),\overrightarrow {AE} =\left(-2;-1;1,5\right)$, $\mathrm{\,sin}\left(AE,\left(OFGC\right)\right)=\dfrac{\left|\vec n\cdot \overrightarrow {AE} \right|}{\left|{\vec n}\right|\left|\overrightarrow {AE} \right|}=\dfrac{2}{\sqrt {29} }\Rightarrow \left(AE,\left(OFGC\right)\right)\approx 22^{\circ }$. Do đó ý c) Sai.
Ta có tia $AE$ nằm trong mặt ( $ECA$ ) vuông góc với mặt phẳng chứa gương.
Khi đó tia $EB$ thuộc mặt phẳng $\left(ACE\right)$.
Gọi $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua $C$, ta có $A’$ thuộc đường thẳng $EB$, đồng thời có toạ độ $A’\left(5;-1;0\right)$. Khi đó, $\overrightarrow {A’E} =\left(-2;1;1,5\right)$. Phương trình đường thẳng $A’E:\dfrac{x-5}{-4}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$.
Do $B$ là giao điểm của $A’E$ và mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ nên toạ độ điểm $B\left(0;\dfrac{3}{2};\dfrac{15}{4}\right)$.
Vậy $2y_{0}+4z_{0}=18$. Do đó ý d) Đúng.
Để lại một bình luận