Đường ống dẫn dầu trên không là hệ thống đường ống được treo trên các giá đỡ hoặc cột cao, dùng để vận chuyển dầu thô hoặc các sản phẩm dầu mỏ từ nơi này đến nơi khác mà không cần chôn dưới lòng đất. Hệ thống này thường được sử dụng trong các khu vực có địa hình khó khăn, vùng băng giá, rừng rậm…, những nơi mà việc đào đường ống ngầm không khả thi.

Bài toán: Đường ống dẫn dầu trên không là hệ thống đường ống được treo trên các giá đỡ hoặc cột cao, dùng để vận chuyển dầu thô hoặc các sản phẩm dầu mỏ từ nơi này đến nơi khác mà không cần chôn dưới lòng đất. Hệ thống này thường được sử dụng trong các khu vực có địa hình khó khăn, vùng băng giá, rừng rậm…, những nơi mà việc đào đường ống ngầm không khả thi.

Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, mặt đất là mặt phẳng $\left(Oxy\right)$, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=0\\y=t\\z=20\end{array}\right. $ ( $t$ là tham số). Vì địa hình phức tạp, người ta chọn điểm $A\left(15;10;15\right)$ để làm điểm trung chuyển dầu từ mặt đất đến đường ống này. a) Đường thẳng $d$ nằm trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$. b) Điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ có tọa độ $A’\left(-15;-10;15\right)$. c) Do thực tế công việc, người ta cần xác định vị trí điểm $B\left(0;b;20\right)$ thuộc đường ống và vị trí điểm $C\left(m;n;0\right)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường $AB,BC,AC$ nhỏ nhất. Ta có $m+n+b=$ $\dfrac{200}{7}$. d) Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài các đoạn đường $AB,BC,AC$ làm tròn đến hàng phần chục bằng $45,5\mathrm{\,\;m}$. Lòi giải a) Đúng. Ta có $M\left(0;1;20\right)$ và $N\left(0;2;20\right)$ thuộc đường thẳng $d$. Mà $M\left(0;1;20\right)$ và $N\left(0;2;20\right)$ cũng thuộc mặt phẳng $\left(Oyz\right):x=0$ nên đường thẳng $d$ nằm trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$. b) Sai. Nếu điểm $I\left(a;b;c\right)$ thì điểm đối xứng với $I$ qua mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ là $I’\left(a;b;-c\right)$ Do đó điểm đối xứng với $A\left(15;10;15\right)$ qua mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ là $A’\left(15;10;-15\right)$. c) Đúng. Ta có $AB+AC+BC=AB+A’C+BC\geq AB+A’B$ $=\sqrt {15^{2}+(t-10)^{2}+5^{2}} +\sqrt {15^{2}+(t-10)^{2}+35^{2}} \geq \sqrt {15^{2}+5^{2}} +\sqrt {15^{2}+35^{2}} =5\sqrt {58} +5\sqrt {10} $ Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}t=10\\C=A’B\cap \left(Oxy\right)\end{array}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}B\left(0;10;20\right)\\C=A’B\cap \left(Oxy\right)\end{array}\right. \right. $. Ta có $A’B$ đi qua $B\left(0;10;20\right)$ và có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {A’B} =\left(-15;0;35\right)=-5\left(3;0;-7\right)$ nên phương trình $A’B$ là $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=3t\\y=10\\z=20-7t\end{array}\right. $. Vì $C=A’B\cap \left(Oxy\right)\Rightarrow z_{C}=0\Rightarrow t=\dfrac{20}{7}\Rightarrow C\left(\dfrac{60}{7};10;0\right)$ Do đó $m+n+b=\dfrac{60}{7}+10+10=\dfrac{200}{7}$.

d) Sai. Ta có $5\sqrt {58} +5\sqrt {10} \approx 53,9$