Hình 1 mô tả một chiếc đồng hồ mặt trời với một mặt đáy hình chữ nhật nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang, trên đó có một mặt đồng hồ hình tròn. Trên mặt đáy này có gắn một chiếc cọc, bóng của cọc khi chiếu sáng sẽ chi giờ trên mặt đồng hồ

Bài toán: Hình 1 mô tả một chiếc đồng hồ mặt trời với một mặt đáy hình chữ nhật nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang, trên đó có một mặt đồng hồ hình tròn. Trên mặt đáy này có gắn một chiếc cọc, bóng của cọc khi chiếu sáng sẽ chi giờ trên mặt đồng hồ. Chiếc đồng hồ mặt trời như vậy được mô hình hóa trong một hệ tọa độ $Oxyz$ như hình 2 . Ở đây, hình chữ nhật $ABCD$ với $A\left(5;-4;0\right)$ và $B\left(5;4;0\right)$ mô tả mặt đáy của đồng hồ mặt trời. Điểm gắn cọc trên mặt đáy trong mô hình được biểu diễn bởi tâm $M\left(2,5;0;2\right)$ của hình chữ nhật $ABCD$. Một đơn vị độ dài trong hệ tọa độ tương ứng 10 cm trong thực tế. Mặt phẳng ngang trong mô hình được biểu diễn bởi mặt phẳng (Oxy)

Hình 1

a) Mặt phẳng $\left(E\right)$ chứa hình chữ nhật $ABCD$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n=\left(4;0;5\right)$. b) Mặt đáy của đồng hồ nghiêng một góc $\alpha $ so với mặt phẳng ngang. Để đồng hồ hiển thị thời gian chính xác tại vĩ độ $\phi $ thì $\alpha +\phi =90^{\circ }$. Vậy chiếc đồng hồ này được thiết kế tại nơi có vĩ độ nhỏ hơn $51^{\circ }$. c) Trong mô hình, cọc đồng hồ được biểu diễn bởi đoạn thẳng $MS$ với $S\left(4,5;0;4,5\right)$. Ánh sáng mặt trời chiếu vào đồng hồ mặt trời tại thời điểm $t_{0}$ nhất định trong một ngày hè được mô hình hóa bằng các đường thẳng song song có vectơ chỉ phương $\vec u=\left(6;6;-13\right)$ thì bóng của đỉnh cọc nằm trong hình chữ nhật $ABCD$ d) Lúc 6 giờ, bóng của cọc đồng hồ đi qua trung điểm cạnh $BC$. Lúc 12 giờ, bóng đi qua trung điểm cạnh $AB$ và lúc 18 giờ, bóng đi qua trung điểm cạnh $AD$ thì thời điểm $t_{0}$ mà ta đang xét xảy ra trước 12 giờ. Lòi giải a) Đúng: $\overrightarrow {MA} =\left(\dfrac{5}{2};-4;-2\right);\overrightarrow {MB} =\left(\dfrac{5}{2};4;-2\right)$ suy ra $\vec n//\left[\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} \right]//\left(4;0;5\right)$ b) Sai: $\overrightarrow {n_{\left(Oxy\right)}} =\vec k=\left(0;0;1\right)$ nên $\mathrm{\,cos}\alpha =\dfrac{\left|\vec n\cdot \overrightarrow {n_{1}} \right|}{\left|{\vec n}\right|\cdot \left|\overrightarrow {n_{1}} \right|}=\dfrac{5}{\sqrt {4^{2}+5^{2}} }=\dfrac{5}{\sqrt {41} }\Rightarrow \alpha \approx 38,66^{\circ }\Rightarrow \phi \approx 51,34^{\circ }$ c) Sai: Tọa độ điểm $S\left(\dfrac{9}{2};0;\dfrac{9}{2}\right)$ Ánh sáng mặt trời đi qua $S$ tại thời điểm $t_{0}$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và có $\overrightarrow {u_{d}} =\left(6;6;-13\right)$ Phương trình đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=\dfrac{9}{2}+6t\\y=6t\\z=\dfrac{9}{2}-13t\end{array}\right. $ Mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ đi qua $A\left(5;4;0\right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=\left(4;0;5\right)$ nên có phương trình là: $4\left(x-5\right)+5\left(z-0\right)=0\Leftrightarrow 4x+5z-20=0$ Vậy $S’=d\cap \left(ABCD\right)\Rightarrow S’\left(\dfrac{15}{2};3;-2\right)$ mà $x_{{S’}}=\dfrac{15}{2}>5$ nên điểm $S’$ nằm ngoài miền hình chữ nhật $ABCD$. d) Đúng: Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$, ta có $I\left(\dfrac{5}{2};4;2\right)\Rightarrow \overrightarrow {MI} =\left(0;4;0\right)$ Khi đó $\overrightarrow {MS’} =\left(5;3;-4\right)\Rightarrow \mathrm{\,cos}\alpha =\dfrac{3\sqrt {2} }{10}\Rightarrow \alpha =64,9^{\circ }$