: Trong một mô hình game 3D, với hệ trục tọa độ thích hợp, người chơi cùng với khẩu súng của anh ta được mô phỏng như một chất điểm di chuyển trên mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z-3=0$ và nhắm bắn các mục tiêu di động trên mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y-2z+5=0$

Bài toán 7: Trong một mô hình game 3D, với hệ trục tọa độ thích hợp, người chơi cùng với khẩu súng của anh ta được mô phỏng như một chất điểm di chuyển trên mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z-3=0$ và nhắm bắn các mục tiêu di động trên mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y-2z+5=0$ . Người chơi vẫn có thể bắn trúng mục tiêu nếu nó di chuyển trên bán cầu khuất phía sau tầm nhìn. Sau khi trò chơi bắt đầu, anh ta quyết định nhắm bắn theo phương vectơ $\vec u=\left(1;0;1\right)$. a) Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(-1;2;1\right)$ và bán kính $R=1$. b) Mặt phẳng $\left(P\right)$ và mặt cầu $\left(S\right)$ không có điểm chung. c) Người chơi đứng ở vị trí giao điểm của $\left(P\right)$ và $Ox$, khoảng cách từ tâm quả cầu đến đường bay viên đạn bằng bằng $\dfrac{\sqrt {66} }{2}$. d) Khoảng cách lớn nhất từ vị trí người bắn đến mục tiêu bằng $3\sqrt {2} $. Lòi giải: a) Mệnh đề đúng. Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(-1;2;1\right)$ và bán kính $R=1$. b) Mệnh đề đúng. Ta có $d\left(I,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|-1-4+2-3\right|}{\sqrt {1+4+4} }=2>R$; do đó $\left(P\right)$ và mặt cầu $\left(S\right)$ không có điểm chung. c) Mệnh đề đúng. Giao điểm của $\left(P\right)$ và $Ox$ là điểm $M_{0}\left(3;0;0\right)\Rightarrow \overrightarrow {IM} =\left(4;-2;-1\right);\left[\overrightarrow {IM} ,\vec u\right]=\left(-2;-5;2\right)$. Khoảng cách từ $I$ đến đường bay viên đạn là $d=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow {IM} ,\vec u\right]\right|}{\left|{\vec u}\right|}=\dfrac{\sqrt {4+25+4} }{\sqrt {1+0+1} }=\dfrac{\sqrt {66} }{2}$. d) Mệnh đề đúng. Gọi $M$ thuộc $\left(P\right),N$ thuộc $\left(S\right)$ theo thứ tự là vị trí người chơi và vị trí mục tiêu đang bắn; $H$ là hình chiếu của điểm $N$ trên $\left(P\right)$. $MN$ hợp với $\left(P\right)$ một góc $\varphi $ thỏa mãn $\mathrm{\,sin}\varphi =\dfrac{\left|\vec u\cdot {\vec n}_{P}\right|}{\left|{\vec u}\right|\cdot \left|{\vec n}_{P}\right|}=\dfrac{\left|1+0+2\right|}{\sqrt {1+0+1} \cdot \sqrt {1+4+4} }=\dfrac{\sqrt {2} }{2}$. Xét tam giác $MNH$ vuông tại $H$, ta có $\mathrm{\,sin}\varphi =\dfrac{NH}{MN}\Rightarrow MN=\dfrac{NH}{\mathrm{\,sin}\varphi }$ hay $MN=\sqrt {2} NH$. Dễ thấy $MN$ lớn nhất khi và chỉ khi $NH$ lớn nhất; mà $NH\leq d\left(I,\left(P\right)\right)+R=2+1=3$. Do đó $MN$ lớn nhất bằng $3\sqrt {2} $; khi đó $N,I,H$ nằm trên đường thẳng

vuông góc với $\left(P\right)$.