Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai viên bi xanh và đỏ ban đầu dạng hai mặt cầu lần lượt là $\left(S_{do}\right):(x-10)^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=9$ và $\left(S_{xanh}\right):(x+12)^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=16$

Bài toán : Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai viên bi xanh và đỏ ban đầu dạng hai mặt cầu lần lượt là $\left(S_{do}\right):(x-10)^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=9$ và $\left(S_{xanh}\right):(x+12)^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=16$. Biết mặt đất trùng với mặt phẳng $Oxy$ và hai mặt cầu này tiếp xúc với mặt phẳng $Oxy$ với điểm tiếp xúc nằm trên trục $Ox$. Truyền cho hai viên bi đỏ và xanh lần lượt các tốc độ không đổi $v_{\mathrm{\,d}}=5\left(\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\right)$ và $v_{x}=3$ $\left(\mathrm{\,m}/\mathrm{\,s}\right)$ thì hai viên bi lăn thẳng về phía nhau dọc theo trục $Ox$ (Điểm tiếp xúc luôn nằm trên $Ox$ ). Sau khoảng thời gian bằng bao nhiêu giây thì hai viên bi va chạm lần đầu tiên (Đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét và kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Lòi giải Gọi $M,N$ lần lượt là vị trí tiếp xúc của bi xanh và bi đỏ với trục $Ox$ Dựa vào phương trình mặt cầu thì khoảng cách giữa hai viên bị ban đầu là 22 m

Khi hai viên bị va chạm nhau tức là hai mặt cầu này sẽ tiếp xúc với nhau và bán kính hai mặt cầu này hơn kém nhau 1 m . Khi đó: $\mathrm{\,sin}\alpha =\dfrac{1}{7}$ suy ra $MN=7\cdot \mathrm{\,cos}\alpha =4\sqrt {3} $ nên hai viên va chạm nhau khi $MN=4\sqrt {3} $. Phương trình tọa độ điểm $M$ theo trục $Ox:10-5t$ Phương trình tọa độ điểm $N$ theo trục $Ox:-12+3t$ $\mathrm{\,\;Do\;}MN=4\sqrt {3} \Leftrightarrow \left|10-5t+12-3t\right|=4\sqrt {3} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{*{20}{l}}8t-22=4\sqrt {3} \\8t-22=-4\sqrt {3} \end{array}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{*{20}{l}}t\approx 1,88\left(\mathrm{\,\;nhan\;}\right)\\t\approx 3,61\left(\mathrm{\,\;loai\;}\right)\end{array}\right. \right. $ Vậy sau khoảng 1,88 giây thì hai viên bi va chạm lần đầu tiên.