Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (left( S right):{left( {x – 1} right)^2} + {left( {y – 2} right)^2} + {left( {z – 3} right)^2} = 25) và hình nón (left( H right)) có đỉnh (Aleft( {3;2; – 2} right)) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón (left( H right)) cắt mặt cầu tại (M,{rm{ }}N) sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (left( S right)) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (left( H right)). - Sách Toán - Học Toán

Câu hỏi:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25$ và hình nón $\left( H \right)$ có đỉnh $A\left( {3;2; – 2} \right)$ và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón $\left( H \right)$ cắt mặt cầu tại $M,{\rm{ }}N$ sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu $\left( S \right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $\left( H \right)$.

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}$

B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{70}}{3}$

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{74}}{3}$

D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{76}}{3}$

Lời Giải:
Đây là các bài toán toạ độ Mặt cầu trong phần Hình học OXYZ.

$Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (left( S right):{left( {x – 1} right)^2} + {left( {y – 2} right)^2} + {left( {z – 3} right)^2} = 25) và hình nón (left( H right)) có đỉnh (Aleft( {3;2; – 2} right)) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón (left( H right)) cắt mặt cầu tại (M,{rm{ }}N) sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (left( S right)) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (left( H right)). 1$

Gọi hình chiếu vuông góc của I trên MN là K.

Dễ thấy $AN = NK = \frac{1}{3}AM$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính R = 5

Có $AM.AN = A{I^2} – {R^2} = 4 \Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow KN = AN = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IK = \sqrt {I{N^2} – K{N^2}} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}$.

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu $\left( S \right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $\left( H \right)$ chính là mặt cầu tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ có bán kính $IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}$.

===============

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu và các dạng toán liên quan

Reader Interactions

Bình luận

Để lại phản hồi Huỷ trả lời