Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\)cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – z – 1 = 0\) và điểm \(A\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) nằm trong \(\left( P \right)\) và tạo với trục \(Oz\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với mặt phẳng \(\left( Q \right):2\,x + y – 2z + 1 = 0\). Tổng \(S = {x_0} + {y_0} + {z_0}\) bằng

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\)cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – z – 1 = 0\) và điểm \(A\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) nằm trong \(\left( P \right)\) và tạo với trục \(Oz\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với mặt phẳng \(\left( Q \right):2\,x + y – 2z + 1 = 0\). Tổng \(S = {x_0} + {y_0} + {z_0}\) bằng

A. \( – 5\).
B. \(12\).
C. \( – 2\).
D. \(13\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; – 1} \right)\), trục \(Oz\) có một VTCP \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right).\)
Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là một VTCP của đường thẳng \(\Delta \) với (\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\)) (*).
Ta có \(\Delta \in \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow a + b – c = 0 \Leftrightarrow c = a + b \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {a;b;a + b} \right)\).
\(\cos \left( {\Delta ;Oz} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}} }} \le \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Suy ra góc giữa \(\Delta \) và \(Oz\) nhỏ nhất khi \(a = b\). Theo (*) chọn \(\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)\)\( \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}.\)
Toạ độ \(M\) thoả mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\\2\,x + y – 2z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4;3;6} \right).\) Vậy \(S = 4 + 3 + 6 = 13.\)