Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=6,DC=7,DQ=3$. $O$ trùng với $D$;

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=6,DC=7,DQ=3$. $O$ trùng với $D$; các vector $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DQ}$ cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. $\overrightarrow{DP}=(0;7;3)$. B. $\overrightarrow{DA}=(6;0;0)$. C. $\overrightarrow{DB}=(6;-7;0)$. D. $\overrightarrow{CN}=(6;0;3)$.
💡 Lời giải: (Sai). $\overrightarrow{DB}=(6;-7;0)$. (Vì): $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=6\vec{i}+7\vec{j}$. (Đúng). $\overrightarrow{DA}=(6;0;0)$. (Đúng). $\overrightarrow{DP}=(0;7;3)$. (Vì): $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DQ}=7\vec{j}+3\vec{k}$. (Đúng). $\overrightarrow{CN}=(6;0;3)$. (Vì): $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DQ}=6\vec{i}+3\vec{k}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán xác định tọa độ các đỉnh và vectơ trong hình hộp chữ nhật khi biết kích thước và vị trí của một đỉnh trùng với gốc tọa độ, cùng với hướng của các cạnh theo các trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$. Phương pháp giải: Đặt gốc $D(0, 0, 0)$. Dựa vào độ dài các cạnh $DA, DC, DQ$ và hướng trục để xác định tọa độ các đỉnh $A, C, Q$. Sau đó, sử dụng quy tắc cộng vectơ (quy tắc hình hộp) để tìm tọa độ các đỉnh còn lại và tính tọa độ các vectơ yêu cầu. Ví dụ: $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}$.

Bài toán tương tự

5 bài toán tương tự:

**1.** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=4, DC=3, DQ=5$. $D$ trùng với $O$; các vector $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DQ}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Tìm tọa độ điểm $B$.
A. $B(4; 3; 0)$. B. $B(3; 4; 0)$. C. $B(4; 3; 5)$. D. $B(0; 3; 4)$.
Đáp án đúng: A. $B(4; 3; 0)$.
Lời giải ngắn gọn: $D(0, 0, 0)$. $A(4, 0, 0)$, $C(0, 3, 0)$. $B$ là đỉnh đối diện $D$ trong mặt $ABCD$. $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=(4; 3; 0)$.

**2.** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=5, DC=2, DQ=4$. $D$ trùng với $O$; các vector $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DQ}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{AN}$ (với $N$ là đỉnh đối diện $D$).
A. $(5; 2; 4)$. B. $(0; 2; 4)$. C. $(-5; 2; 4)$. D. $(5; -2; 4)$.
Đáp án đúng: B. $(0; 2; 4)$.
Lời giải ngắn gọn: $D(0, 0, 0)$. $A(5, 0, 0)$. $N(5, 2, 4)$. $\overrightarrow{AN} = N – A = (5-5; 2-0; 4-0) = (0; 2; 4)$.

**3.** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=3, DC=4, DQ=2$. $D$ trùng với $O$; vector $\overrightarrow{DA}$ hướng theo $\vec{j}$, $\overrightarrow{DC}$ hướng theo $\vec{i}$, $\overrightarrow{DQ}$ hướng theo $\vec{k}$. Chọn khẳng định SAI.
A. $C(4; 0; 0)$. B. $A(0; 3; 0)$. C. $\overrightarrow{DB}=(4; 3; 0)$. D. $\overrightarrow{AP}=(4; -3; 2)$.
Đáp án đúng: Không có khẳng định sai trong A, B, C. (Giả sử cần tìm khẳng định đúng, nếu không tôi phải tạo lại 4 đáp án). Ta tìm tọa độ $P$: $P = C + Q_{vec} = (4; 0; 0) + (0; 0; 2) = (4; 0; 2)$. $\overrightarrow{AP} = P – A = (4-0; 0-3; 2-0) = (4; -3; 2)$. Vậy D là khẳng định ĐÚNG. Đề bài yêu cầu tìm khẳng định SAI. Ta sửa đáp án D thành $\overrightarrow{AP}=(4; 3; -2)$ để đảm bảo có 1 đáp án sai.
Sửa lại: D. $\overrightarrow{AP}=(4; 3; -2)$.
Đáp án đúng: D. $\overrightarrow{AP}=(4; 3; -2)$.
Lời giải ngắn gọn: $A(0; 3; 0)$, $C(4; 0; 0)$, $Q(0; 0; 2)$. $P(4; 0; 2)$. $\overrightarrow{AP} = (4; -3; 2)$. Khẳng định D sai.

**4.** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=a, DC=2a, DQ=3a$. $D$ trùng với $O$; các vector $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DQ}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Tính độ dài đoạn chéo $DN$.
A. $a\sqrt{6}$. B. $a\sqrt{14}$. C. $3a$. D. $2a\sqrt{3}$.
Đáp án đúng: B. $a\sqrt{14}$.
Lời giải ngắn gọn: $D(0, 0, 0)$. $N(a, 2a, 3a)$. $DN = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + (3a)^2} = \sqrt{14a^2} = a\sqrt{14}$.

**5.** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=8, DC=1, DQ=2$. $D$ trùng với $O$; các vector $\overrightarrow{DA}$ hướng $\vec{i}$, $\overrightarrow{DC}$ hướng $\vec{j}$, $\overrightarrow{DQ}$ hướng $\vec{k}$. Tìm tọa độ điểm $M$ (đối diện $Q$ trong mặt $ADQM$).
A. $M(8; 1; 0)$. B. $M(0; 1; 2)$. C. $M(8; 0; 2)$. D. $M(1; 8; 2)$.
Đáp án đúng: C. $M(8; 0; 2)$.
Lời giải ngắn gọn: $D(0, 0, 0)$. $A(8, 0, 0)$, $Q(0, 0, 2)$. $M$ là đỉnh đối diện $D$ trong mặt $ADQM$. $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DQ} = (8; 0; 2)$. Vậy $M(8; 0; 2).