Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) và mặt phẳng (\(\alpha \)) có phương trình \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + t}\\{z = – 1 + 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\), \({d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 4}}{{ – 2}}\), \((\alpha ):x + y – z – 2 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng (\(\alpha \)), cắt cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) và mặt phẳng (\(\alpha \)) có phương trình \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + t}\\{z = – 1 + 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\), \({d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 4}}{{ – 2}}\), \((\alpha ):x + y – z – 2 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng (\(\alpha \)), cắt cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là

A. \(\frac{{x + 2}}{8} = \frac{{y – 1}}{{ – 7}} = \frac{{z + 3}}{1}\).
B. \(\frac{{x – 2}}{{ – 8}} = \frac{{y + 1}}{7} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}\).
C. \(\frac{{x + 2}}{8} = \frac{{y – 1}}{7} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\).
D. \(\frac{{x – 2}}{{ – 8}} = \frac{{y + 1}}{7} = \frac{{z – 3}}{1}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \)với \({d_1}\) và \({d_2}\). Vì đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng (\(\alpha \)) nên \(M,N \in \left( \alpha \right)\).
* Tìm tọa độ điểm \(M\).
Vì \(M \in {d_1}\) nên \(M\left( {1 + 3t\,;\,2 + t\,;\, – 1 + 2t} \right)\) với \(t \in \mathbb{R}\).
Vì \(M \in \left( \alpha \right)\) nên \(\left( {1 + 3t} \right)\, + \left( {\,2 + t} \right)\, – \left( {\, – 1 + 2t} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow t = – 1\) \( \Rightarrow M\left( { – 2\,;\,1\,;\, – 3} \right)\).
* Tìm tọa độ điểm \(N\).
Vì \(N \in {d_2}\) nên \(N\left( {2 – 3t’\, & \,;\,\,2t’\,\,;\,\,4 – 2t’} \right)\) với \(t’ \in \mathbb{R}\).
Vì \(N \in \left( \alpha \right)\) nên \(\left( {2 – 3t’} \right) + \left( {2t’} \right) – \left( {4 – 2t’} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow t’ = 4\).\( \Rightarrow N\left( { – 10\,;\,8\,;\, – 4} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {NM} = \left( {8\,\,;\,\, – 7 & \,\,;\,\,1} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( { – 2\,;\,1\,;\, – 3} \right)\)và nhận \(\overrightarrow {NM} = \left( {8\,\,;\,\, – 7 & \,\,;\,\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Vậy đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(\frac{{x + 2}}{8} = \frac{{y – 1}}{{ – 7}} = \frac{{z + 3}}{1}\).