Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {1;\,2;\, – 2} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Ta có H là trực tâm tam giác ABC \( \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\).

Thật vậy : \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot AB\) (1)

Mà \(CH \bot AB\) (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB \bot \left( {OHC} \right) \Rightarrow AB \bot OH\) (*)

Tương tự \(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\). (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(OH \bot \left( {ABC} \right)\).

Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có bán kính R = OH = 3.

Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\).