Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Trong đợt hội trại “ Khi tôi \(18\)” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bầy trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật \(ABCD\). Phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là \(200.000\) đồng cho một \({m^2}\) bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu ( làm tròn đến hàng phần nghìn)?
A. \(900.000\)đồng.
B. \(1.232.000\)đồng.
C. \(902.000\)đồng.
D. \(1.230.000\)đồng.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ. Parabol của pano có dạng \(y = a{x^2} + c\left( {a < 0} \right)\). Vì \(\left( P \right)\) cắt \(Oy\) tại điểm có tung độ \(4\) nên \(c = 4\). Mà \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(\left( {2;0} \right)\) nên \(a = – 1\). Như vậy Parabol của pano có phương trình \(y = 4 – {x^2}\) trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right]\).
Giả sử \(CD = 2x\) với \(0 \le x \le 2\). Khi đó diện tích của hình chữ nhật là \({S_{ABCD}} = 2x\left( {4 – {x^2}} \right)\).
Diện tích phần trang trí của hoa văn là
\(S\left( x \right) = \int\limits_{ – 2}^2 {\left( {4 – {x^2}} \right){\rm{d}}x} – 2x\left( {4 – {x^2}} \right) = 2{x^3} – 8x + \frac{{32}}{3}\)
Hàm số \(S\left( x \right)\) có \(S’\left( x \right) = 6{x^2} – 8\) và \(\)\(S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right]\) ta có \(S\left( { \pm 2} \right) = \frac{{32}}{3};\,\,S\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{96 – 32\sqrt 3 }}{9};\,\,S\left( { – \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{96 + 32\sqrt 3 }}{9}\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của \(S\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right]\) là \(\frac{{96 – 32\sqrt 3 }}{9}\)
Chi phí cho họa tiết văn hoa lúc đó là \(\frac{{96 – 32\sqrt 3 }}{9} \times 200.000 \approx 902.000\) đồng.
Trả lời