Trắc nghiệm Nguyên hàm

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$ và đồ thị hàm số $y=F(x)$ đi qua điểm $M\left(0;1\right)$. Tính $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ (làm tròn kết quả tới hàng đơn vị).Đáp án: 2Lời giải: Ta có $F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=-\cos x+C$.Mà đồ thị hàm số $y=F(x)$ đi qua $M(0;1)$ nên $F(0)=1\Leftrightarrow -1+C=1\Leftrightarrow C=2$.Suy ra $F(x)=-\cos x+2$ nên […]

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1;2\}$ và thỏa mãn $f^{\prime}(x)=|x-1|+|x-2|$, $f(0)+f\left(\dfrac{3}{2}\right)=1;f(4)=2$. Tính giá trị của biểu thức $f(-1)+f(3)+f\left(\dfrac{3}{2}\right)$.Đáp án: -5Lời giải: $f^{\prime}(x)=|x-1|+|x-2|=\left\{\begin{array}{l} 2x-3 \text{ khi } x{>}2 \\ 1 \text{ khi } 1{<}x{<}2 \\ 3-2x \text{ khi } x{<}1.\end{array}\right.$Suy ra $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2-3x+c \text{ khi } x{>}2 \\ x+d \text{ khi } 1{<}x{<}2 […]

Biết $F(x)$ là một họ nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^3}$ và $F(0)=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $F(1)+F(2)$ bằng bao nhiêu?Đáp án: 2,25Lời giải: Ta có$F(x)=\displaystyle\int\limits \dfrac{x}{(x+1)^3}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits \dfrac{x+1-1}{(x+1)^3}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits \left(\dfrac{1}{(x+1)^2}-\dfrac{1}{(x+1)^3}\right)\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2(x+1)^2}+C.$Mà $F(0)=\dfrac{1}{2}$ nên suy ra $-\dfrac{1}{2}+C=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow C=1.$Khi đó $F(x)=-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2(x+1)^2}+1\Rightarrow F(1)+F(2)=\dfrac{5}{8}+\dfrac{13}{8}=\dfrac{9}{4}.$

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{2x-1}$; biết $F(1)=2$. Tính $F(2)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).Đáp án: 2,55Lời giải: Ta có $F(x)=\dfrac{1}{2}\ln |2x-1|+C$; $F(1)=2\Rightarrow C=2$.$\Rightarrow F(x)=\dfrac{1}{2}\ln |2x-1|+2$\Rightarrow F(2)=\dfrac{1}{2}\ln 3+2\approx 2{,}55$.

Cho hàm số $f(x)=2x-3\cos x$. a) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x)=2+3\sin x$ b) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x-3\cos x$ là $h(x)=x^{2}-3\sin x+2024$ c) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3$ là $F(x)=x^{2}-3\sin x+6-\dfrac{\pi^{2}}{4}$ d) $f(x)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k(x)\cdot\mathrm{e}^{x}$, […]

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\tan^2{x}$ a) $\int{f(x)}dx=\tan{x}-x+C$ b) $\int{f(x)}dx=\tan{x}+x+C$ c) $\int{f(x)}dx=-\int\dfrac{1}{\cos^2{x}+xdx}$ d) $\int{f(x)}dx=\int\dfrac{1}{\cos^2{x}}-xdx$ Lời giải:(Đúng) $\int{f(x)}dx=\tan{x}-x+C$(Vì): Vì đây là kết quả chính xác của nguyên hàm $\int \tan^2{x} dx$.(Sai) $\int{f(x)}dx=\tan{x}+x+C$(Vì): Vì thành phần $x$ phải có dấu âm, không phải dấu dương.(Sai) $\int{f(x)}dx=-\int\dfrac{1}{\cos^2{x}+xdx}$(Vì): Vì $\dfrac{1}{\cos^2{x}} = \sec^2{x}$, và biểu thức đúng phải là $\int […]

Khi được thả từ độ cao 8,5 m, một vật rơi với gia tốc không đổi $a=17m/{{s}^{2}}$. Sau khi rơi được $1$ giây thì vật có tốc độ bao nhiêu m/s?Đáp án: 17Lời giải: Kí hiệu $v\left( t \right)$ là tốc độ của vật, $s\left( t \right)$ là quãng đường vật đi được cho đến […]

Cây cà chua khi trồng có chiều cao $5$ cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số: $v\left( t \right)=-0.1{{t}^{3}}+{{t}^{2}}$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v\left( t \right)$ tính bằng centimét/tuần. Gọi $h\left( t \right)$ là độ cao của cây cà chua ở tuần […]

Cho $F\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right){{\text{e}}^{-x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\left( x^2-3x+2 \right){{\text{e}}^{-x}}$. Tính tổng $S=a+2b-c$ ?Đáp án: 2Lời giải: Ta có: ${F}’\left( x \right)=\left( 2ax+b \right){{\text{e}}^{-x}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right){{\text{e}}^{-x}}=\left[ -a{{x}^{2}}+\left( 2a-b \right)x+\left( b-c \right) \right]{{\text{e}}^{-x}}$.Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi $F'(x) = f(x)$. So sánh các […]

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$, và thỏa mãn $\int f\left( 3+x \right)dx={{e}^{x}}+\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)$. Tính $f\left( -2 \right)$ (kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) (Kết quả bài toán nhân với 10 rồi làm tròn đến hàng phần chục)Đáp án: -2,9Lời giải: Gọi $F\left( […]