Biết $F(x)$ là một họ nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^3}$ và $F(0)=\dfrac{1}{2}$

Biết $F(x)$ là một họ nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^3}$ và $F(0)=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $F(1)+F(2)$ bằng bao nhiêu?
Đáp án: 2,25
Lời giải: Ta có
$F(x)=\displaystyle\int\limits \dfrac{x}{(x+1)^3}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits \dfrac{x+1-1}{(x+1)^3}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits \left(\dfrac{1}{(x+1)^2}-\dfrac{1}{(x+1)^3}\right)\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2(x+1)^2}+C.$
Mà $F(0)=\dfrac{1}{2}$ nên suy ra $-\dfrac{1}{2}+C=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow C=1.$
Khi đó $F(x)=-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2(x+1)^2}+1\Rightarrow F(1)+F(2)=\dfrac{5}{8}+\dfrac{13}{8}=\dfrac{9}{4}.$