Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1;2\}$ và thỏa mãn $f^{\prime}(x)=|x-1|+|x-2|$, $f(0)+f\left(\dfrac{3}{2}\right)=1;f(4)=2$

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1;2\}$ và thỏa mãn $f^{\prime}(x)=|x-1|+|x-2|$, $f(0)+f\left(\dfrac{3}{2}\right)=1;f(4)=2$. Tính giá trị của biểu thức $f(-1)+f(3)+f\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
Đáp án: -5
Lời giải: $f^{\prime}(x)=|x-1|+|x-2|=\left\{\begin{array}{l} 2x-3 \text{ khi } x{>}2 \\ 1 \text{ khi } 1{<}x{<}2 \\ 3-2x \text{ khi } x{<}1.\end{array}\right.$
Suy ra $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2-3x+c \text{ khi } x{>}2 \\ x+d \text{ khi } 1{<}x{<}2 \\ 3x-x^2+e \text{ khi } x{<}1.\end{array}\right.$
Từ giả thiết $f(0)+f\left(\dfrac{3}{2}\right)=1;f(4)=2$ ta có
$\left\{\begin{array}{l} e+\left(\dfrac{3}{2}+d\right)=1\\ c+4=2\end{array}\right. \Rightarrow c+e+\left(\dfrac{3}{2}+d\right)=-1.$
Suy ra $f(-1)+f\left(\dfrac{3}{2}\right)+f(3)=(e-4)+\left(\dfrac{3}{2}+d\right)+c=-1-4=-5$.