Tính xác suất có điều kiện khi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi không hoàn lại

1. Đề bài

Một hộp chứa 5 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng viên bi ra khỏi hộp hai lần mà không hoàn lại. Biết rằng viên bi lấy ra ở lần thứ hai là bi đỏ, hãy tính xác suất để viên bi lấy ra ở lần thứ nhất cũng là bi đỏ.

2. Dạng toán

Bài toán tính xác suất có điều kiện thông qua việc sử dụng công thức nhân xác suất và công thức xác suất toàn phần (hoặc công thức Bayes).

3. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

• Bước 1: Gọi biến cố $A$: ‘Lần 1 lấy được bi đỏ’ và biến cố $B$: ‘Lần 2 lấy được bi đỏ’.
• Bước 2: Tính $P(B)$ sử dụng công thức xác suất toàn phần: $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$.
• Bước 3: Tính $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức tính $P(A|B)$.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố: ‘Lần thứ nhất lấy được bi đỏ’.

Gọi $B$ là biến cố: ‘Lần thứ hai lấy được bi đỏ’.

Số lượng bi ban đầu trong hộp là: 5 bi đỏ + 7 bi xanh = 12 bi.

Xác suất lần thứ nhất lấy được bi đỏ là: $P(A) = \frac{5}{12}$.

Xác suất lần thứ nhất lấy được bi xanh (tức là không phải bi đỏ) là: $P(\overline{A}) = \frac{7}{12}$.

Nếu lần thứ nhất lấy được bi đỏ (trong hộp còn 4 bi đỏ và 7 bi xanh, tổng 11 bi), xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ là: $P(B|A) = \frac{4}{11}$.

Nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh (trong hộp còn 5 bi đỏ và 6 bi xanh, tổng 11 bi), xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ là: $P(B|\overline{A}) = \frac{5}{11}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ là:

$$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} + \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{11} = \frac{20}{132} + \frac{35}{132} = \frac{55}{132} = \frac{5}{12}$$

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi đỏ biết rằng lần thứ hai đã lấy được bi đỏ là:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{\frac{20}{132}}{\frac{55}{132}} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11}$$

Kết luận: Xác suất cần tìm là $\frac{4}{11}$.

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 học sinh. Biết rằng học sinh thứ hai được chọn là nam, tính xác suất để học sinh thứ nhất cũng là nam.

Câu 2: Trong một lô hàng có 8 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm (không hoàn lại). Biết rằng sản phẩm thứ hai lấy ra là phế phẩm, tính xác suất sản phẩm thứ nhất là sản phẩm tốt.

Câu 3: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đen. Rút ngẫu nhiên lần lượt 2 bi không hoàn lại. Biết bi thứ hai rút ra là bi đen, xác suất bi thứ nhất cũng là bi đen bằng bao nhiêu?

Câu 4: Một hộp chứa 3 thẻ xanh và 7 thẻ đỏ. Lấy lần lượt 2 thẻ không hoàn lại. Biết thẻ thứ hai rút được có màu xanh, tính xác suất thẻ thứ nhất được rút ra có màu đỏ.

Câu 5: Một bình có 9 quả bóng đánh số từ 1 đến 9, trong đó có 5 quả bóng mang số lẻ và 4 quả bóng mang số chẵn. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả bóng không hoàn lại. Biết quả bóng lấy ra ở lần thứ hai mang số chẵn, tính xác suất quả bóng lấy ra ở lần thứ nhất mang số lẻ.

Xem đáp án và lời giải

Câu 1: Gọi $A$: ‘HS1 nam’, $B$: ‘HS2 nam’. $P(A)=\frac{20}{35}$, $P(B|A)=\frac{19}{34}$, $P(\overline{A})=\frac{15}{35}$, $P(B|\overline{A})=\frac{20}{34}$. Tính được $P(B)=\frac{20}{35}$. Suy ra $P(A|B) = \frac{19}{34}$. Đáp án: $\frac{19}{34}$.

Câu 2: Gọi $A$: ‘SP1 tốt’, $B$: ‘SP2 phế phẩm’. $P(A)=\frac{8}{12}$, $P(B|A)=\frac{4}{11}$, $P(\overline{A})=\frac{4}{12}$, $P(B|\overline{A})=\frac{3}{11}$. Ta có $P(B)=\frac{1}{3}$. Suy ra $P(A|B) = \frac{8/12 \cdot 4/11}{1/3} = \frac{8}{11}$. Đáp án: $\frac{8}{11}$.

Câu 3: Gọi $A$: ‘Bi 1 đen’, $B$: ‘Bi 2 đen’. $P(A)=\frac{4}{10}$, $P(B|A)=\frac{3}{9}$, $P(\overline{A})=\frac{6}{10}$, $P(B|\overline{A})=\frac{4}{9}$. Tính được $P(B)=\frac{4}{10}$. Suy ra $P(A|B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Đáp án: $\frac{1}{3}$.

Câu 4: Gọi $A$: ‘Thẻ 1 đỏ’, $B$: ‘Thẻ 2 xanh’. $P(A)=\frac{7}{10}$, $P(B|A)=\frac{3}{9}$, $P(\overline{A})=\frac{3}{10}$, $P(B|\overline{A})=\frac{2}{9}$. $P(B)=\frac{3}{10}$. $P(A|B) = \frac{7/10 \cdot 3/9}{3/10} = \frac{7}{9}$. Đáp án: $\frac{7}{9}$.

Câu 5: Gọi $A$: ‘Bóng 1 lẻ’, $B$: ‘Bóng 2 chẵn’. $P(A)=\frac{5}{9}$, $P(B|A)=\frac{4}{8}$, $P(\overline{A})=\frac{4}{9}$, $P(B|\overline{A})=\frac{3}{8}$. Ta có $P(B)=\frac{4}{9}$. $P(A|B) = \frac{5/9 \cdot 4/8}{4/9} = \frac{5}{8}$. Đáp án: $\frac{5}{8}$.