📌 Đề bài:
Tìm tập xác định $D$ của hàm số lượng giác sau: $$y = \frac{\tan 2x}{\cos x – \sin x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Hàm số chứa phân thức và các hàm lượng giác xác định khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
- Hàm số $y = \tan u(x) = \frac{\sin u(x)}{\cos u(x)}$ xác định khi $\cos u(x) \ne 0 \Leftrightarrow u(x) \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$.
- Phân thức $\frac{A(x)}{B(x)}$ xác định khi mẫu số $B(x) \ne 0$.
- Áp dụng công thức biến đổi hiệu hai hàm lượng giác: $\cos x – \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} – x\right)$.
- Kỹ năng gộp nghiệm trên đường tròn lượng giác: nếu tập nghiệm thứ nhất là tập con của tập nghiệm thứ hai thì kết quả gộp lại chính là tập lớn hơn. Tương tự như trong bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác chứa tang, việc biểu diễn điểm ngọn trên đường tròn lượng giác giúp tránh bỏ sót hoặc viết thừa điều kiện.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
$$\begin{cases} \tan 2x \text{ xác định} \\ \cos x – \sin x \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos 2x \ne 0 \\ \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \ne 0 \end{cases}$$
Bước 1: Giải điều kiện $\cos 2x \ne 0$:
$$2x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Họ điểm này được biểu diễn bởi 4 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác, ứng với các cung: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
Bước 2: Giải điều kiện $\cos x – \sin x \ne 0$:
$$\sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} \ne \frac{\pi}{2} + m\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi}{4} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}$$
Họ điểm này được biểu diễn bởi 2 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác: $\frac{\pi}{4}$ và $\frac{5\pi}{4}$.
Bước 3: Kết hợp điều kiện trên đường tròn lượng giác:
Dễ thấy rằng tập hợp các điểm $\left\{ \frac{\pi}{4} + m\pi \mid m \in \mathbb{Z} \right\}$ là tập con của $\left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$ (ứng với $k = 2m$ là số chẵn). Do đó, khi lấy giao của hai điều kiện loại trừ, ta chỉ cần điều kiện rộng hơn:
$$x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Bạn có thể tham khảo thêm các dạng gộp họ nghiệm tương tự tại bài toán tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\tan x}{\cos 2x – \sin x}$.
👉 Kết luận / Đáp án: Tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}$. Chọn đáp án A.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\cot 2x}{\sin x + \cos x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Điều kiện xác định:
$$\begin{cases} \sin 2x \ne 0 \\ \sin x + \cos x \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x \ne k\pi \\ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ne \frac{k\pi}{2} \\ x \ne -\frac{\pi}{4} + m\pi \end{cases} (k, m \in \mathbb{Z})$$Hai họ nghiệm này không trùng nhau trên đường tròn lượng giác.
Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \left( \left\{ \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{\pi}{4} + m\pi, m \in \mathbb{Z} \right\} \right)$.
Bài tập 2: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\tan x}{\cos 2x + 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Điều kiện xác định:
$$\begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \cos 2x + 1 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x \ne 0 \\ 2\cos^2 x \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$$Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập 3: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sin 2x} + \cot\left(x – \frac{\pi}{3}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Điều kiện xác định:
$$\begin{cases} \sin 2x \ne 0 \\ \sin\left(x – \frac{\pi}{3}\right) \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x \ne k\pi \\ x – \frac{\pi}{3} \ne m\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ne \frac{k\pi}{2} \\ x \ne \frac{\pi}{3} + m\pi \end{cases} (k, m \in \mathbb{Z})$$Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \left( \left\{ \frac{k\pi}{2} \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{3} + m\pi \right\} \right), k, m \in \mathbb{Z}$.
Bài tập 4: Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 – \cos 2x}}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $1 + \cos x \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $1 – \cos 2x \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó biểu thức dưới dấu căn luôn không âm khi mẫu số khác 0.
Điều kiện xác định:
$$1 – \cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne 1 \Leftrightarrow 2x \ne k2\pi \Leftrightarrow x \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$$Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập 5: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{2\tan x + 1}{\cos 3x – \cos x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Điều kiện xác định:
$$\begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \cos 3x – \cos x \ne 0 \end{cases}$$Áp dụng công thức biến đổi: $\cos 3x – \cos x = -2\sin 2x \sin x = -4\sin^2 x \cos x$.
Do đó điều kiện trở thành: $$\begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \sin x \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$$Bài toán có cấu trúc phân tích tích tương tự như chuyên đề tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\sqrt{3} – \tan x}{\sin 2x + \cos x}$.
Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
Để lại phản hồi