📌 Đề bài:
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{3} – \tan x}{\sin 2x + \cos x}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm tập xác định của một biểu thức chứa hàm số lượng giác, học sinh cần lưu ý các điều kiện ràng buộc sau:
- Hàm số dạng phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác $0$: $Q(x) \ne 0$.
- Hàm số $\tan u(x) = \dfrac{\sin u(x)}{\cos u(x)}$ xác định khi và chỉ khi $\cos u(x) \ne 0 \Leftrightarrow u(x) \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
- Áp dụng công thức nhân đôi $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ để phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giải phương trình/bất phương trình lượng giác. Tương tự như kỹ thuật trong bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác dạng phân thức, việc đặt nhân tử chung giúp tránh bỏ sót nghiệm.
- Nghiệm của phương trình cơ bản: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$. Do đó $\sin x \ne \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x \ne \alpha + k2\pi \\ x \ne \pi – \alpha + k2\pi \end{cases}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi đồng thời thỏa mãn điều kiện xác định của tan và mẫu thức lượng giác:
$$\begin{cases} \tan x \text{ có nghĩa} \\ \sin 2x + \cos x \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x \ne 0 \\ 2\sin x \cos x + \cos x \ne 0 \end{cases}$$
Phân tích điều kiện thứ hai thành nhân tử:
$$\begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \cos x(2\sin x + 1) \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x \ne 0 \\ 2\sin x + 1 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \sin x \ne -\dfrac{1}{2} \end{cases}$$
Giải từng điều kiện cơ bản:
- $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\, k \in \mathbb{Z}$.
- Vì $-\dfrac{1}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$, nên:
$$\sin x \ne -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ne -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ x \ne \pi – \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ne -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ x \ne \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$$
Kết hợp tất cả các điều kiện trên, ta có tập xác định của hàm số là:
$$D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi;\, -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi;\, \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi,\, k \in \mathbb{Z} \right\}$$
👉 Kết luận: Chọn đáp án A.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{\cot x}{\cos 2x + 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Đáp án: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{k\pi}{2},\, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập 2: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt{\dfrac{1 + \cos 2x}{1 – \sin x}}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Vì $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x \ge 0$ và $1 – \sin x \ge 0,\, \forall x \in \mathbb{R}$, nên phân thức luôn không âm khi mẫu khác 0.
Do đó điều kiện duy nhất là: $1 – \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k2\pi,\, k \in \mathbb{Z}$.
Đáp án: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k2\pi,\, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập 3: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \tan\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{1}{\sin x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$\begin{cases} \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right) \ne 0 \\ \sin x \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x – \dfrac{\pi}{4} \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ x \ne l\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ne \dfrac{3\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2} \\ x \ne l\pi \end{cases} (k, l \in \mathbb{Z})$.
Đáp án: $D = \mathbb{R} \setminus \left( \left\{ \dfrac{3\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2},\, k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ l\pi,\, l \in \mathbb{Z} \right\} \right)$.
Bài tập 4: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{\sin^2 x – 3\sin x + 2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Vì $\sin x \le 1 < 2$ nên $\sin x - 2 \ne 0$ với mọi $x$.
Do đó chỉ cần $\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k2\pi,\, k \in \mathbb{Z}$.
Đáp án: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k2\pi,\, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập 5: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt{\dfrac{1 – \cos x}{1 + \cos x}}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Vì $-1 \le \cos x \le 1$ nên $1 – \cos x \ge 0$ và $1 + \cos x \ge 0$ với mọi $x$.
Do đó điều kiện cần và đủ là mẫu số dương: $1 + \cos x > 0 \Leftrightarrow \cos x \ne -1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi,\, k \in \mathbb{Z}$.
Đáp án: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \pi + k2\pi,\, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
Để lại phản hồi