(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Một tấm tôn hình tam giác \(ABC\) có độ dài cạnh \(AB = 3;AC = 2;BC = \sqrt {19} \). Điểm \(H\) là chân đường cao kẻ từ đình \(A\) của tam giác \(ABC\). Người ta dùng compa có tâm là \(A\), bán kính \(AH\) vạch một cung tròn \(MN\). Lấy phần hình quạt gỏ thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là \(A\), cung \(MN\) thành đường tròn đáy của hình nón (nhuc hình vẽ). Tính thể tich khối nón trên.
A. \(\frac{{2\pi \sqrt {114} }}{{361}}\).
B. \(\frac{{2\pi \sqrt 3 }}{{19}}\).
C. \(\frac{{\pi \sqrt {57} }}{{361}}\).
D. \(\frac{{2\pi \sqrt {19} }}{{361}}\).
Lời giải:
Theo định lý côsin trong tam giác \(ABC\) ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\) \( \Rightarrow \cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = 120^\circ \) hay \(\widehat {BAC} = \frac{{2\pi }}{3}\).
Suy ra diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt {57} }}{{19}}\).
Gọi \(r\) là bán kinh đáy của hình nón. Suy ra \(2\pi r = \frac{{2\pi }}{3}AH \Rightarrow r = \frac{{AH}}{3} = \frac{{\sqrt {57} }}{{19}}\).
Chiều cao của khối nón bằng \(h = \sqrt {A{H^2} – {r^2}} = \frac{{2\sqrt {114} }}{{19}}\).
Thể tích bằng \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{{\sqrt {57} }}{{19}}} \right)^2} \cdot \frac{{2\sqrt {114} }}{{19}} = \frac{{2\pi \sqrt {114} }}{{361}}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời