(THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Tất cả các giá trị thực của \(m\) để bất phương trình \(x\sqrt x + \sqrt {x + 12} \le m{\log _{5 – \sqrt {4 – x} }}3\) có nghiệm:

A. \(m > 2\sqrt 3 \).

B. \(m > 12{\log _3}5\).

C. \(m \ge 2\sqrt 3 \).

D. \(2 < m < 12{\log _3}5\).

Lời giải:

ĐKXĐ:\({\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x \ge 0\\x + 12 \ge 0\\4 – x \ge 0\\5 – \sqrt {4 – x} > 0\\5 – \sqrt {4 – x} \ne 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le x \le 4} \right.\)\(\)

Ta có \(0 \le x \le 4 \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {4 – x} \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 – \sqrt {4 – x} \le 5 \Rightarrow 0 < {\log _{5 – \sqrt {4 – x} }}3 \le 1\)

Khi đó \(x\sqrt x + \sqrt {x + 12} \le m{\log _{5 – \sqrt {4 – x} }}3 \Leftrightarrow m \ge \frac{{x\sqrt x + \sqrt {x + 12} }}{{{{\log }_{5 – \sqrt {4 – x} }}3}} = (x\sqrt x + \sqrt {x + 12} ){\log _3}(5 – \sqrt {4 – x} )\)

Xét hàm số \(g(x) = (x\sqrt x + \sqrt {x + 12} ){\log _3}(5 – \sqrt {4 – x} )\)

\( \Rightarrow g\prime (x) = \left( {\sqrt x + \frac{1}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt {x + 12} }}} \right){\log _3}(5 – \sqrt {4 – x} ) + (x\sqrt x + \sqrt {x + 12} )\frac{1}{{2\sqrt {4 – x} (5 – \sqrt {4 – x} )\ln 3}}\)\(\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {5 – \sqrt {4 – x} } \right) > 0\\\frac{1}{{2\sqrt {4 – x} \left( {5 – \sqrt {4 – x} } \right)\ln 3}} > 0\end{array} \right.,\forall x \in \left[ {0;4} \right] \Rightarrow g’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right]\)

\( \Rightarrow g(x)\) đồng biến trên \([0;4]\).

Để phương trình \(x\sqrt x + \sqrt {x + 12} \le m{\log _{5 – \sqrt {4 – x} }}3\) khi và chỉ khi \(m \ge {\min _{[0:4]}}g(x) = g(0) = 2\sqrt 3 \).